写像 $$ \phi:\mathbb{Z}^*_n\longrightarrow\mathbb{Z}^*_n (x\lo

Question

写像
$$
\phi:\mathbb{Z}^*_n\longrightarrow\mathbb{Z}^*_n (x\longrightarrow x^2)
$$
について，群準同型写像で全射であることを示したのですが，単射ではないことを証明することができません．
$$
Ker{\phi}
eq\{1\}
$$
であることから示せば良いのでしょうか．
また，$Ker{\phi}$を中国剰余定理から求めたいですが，理解に及ばず求めることができませんでした．
$n=pq,(gcd(p,q)=1)\in\mathbb{N}$，$\mathbb{Z}^*_n=\mathbb{Z}_n-\{0\}$です．

Accepted Answer

(1)
$$
  \phi(1) \equiv \phi(-1) \pmod n．
$$
ここでもし $\phi$ が単射ならば $1 \equiv -1 \pmod n$ となりますが、そういうことが起こるのは $n = 1,2$ のときに限ります．だから $n = pq > 2$ により $\phi$ は単射ではありません．
　単射でないので $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ の有限性から全射でもありません．

(2)
$\mathrm{Ker}\,\phi$ を求めるには合同式 $\phi(x) \equiv 1 \pmod {pq}$ を解けばよいです．$p',q'$ を $pp' \equiv 1 \pmod {q}$，$qq' \equiv 1 \pmod {p}$ によって定まる整数とすると，同合同式の解全体は
$$
  x \equiv \pm 1, \pm(pp' - qq') \pmod{pq}．  
$$

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