（ 2 0 √10 ）

　与えられた行列を $A$ として、$A$ の固有値 $\lambda = 0, 5, -3$ に属する固有空間 $W(\lambda) = \{\vec{x} \mid (\lambda I - A)\vec{x} = 0\}$ を求めます。

$\lambda = 0$ の場合： 固有空間は $W(0) = \{\vec{x} \mid A\vec{x} = 0\}$ なので $A$ を簡約化して、

$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix} 2 & 0 & \sqrt{10} \\ 0 & -1 & 2 \\\sqrt{10} & 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{10}/2 \\ 0 & 1 & -2 \\\sqrt{10} & 2 & 1 \end{pmatrix} &&\begin{aligned} 1行目 &\times 1/2 \\ 2行目 &\times -1\end{aligned} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{10}/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4\end{pmatrix}&& 3行目 + 1行目 \times -\sqrt{10} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{10}/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} && 3行目 + 2行目 \times -2\end{aligned}$$

すなわち、

$$W(0) = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \,\middle|\, \begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{10}/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \right\}$$

$c$ を任意定数として $x_3 = c$ とすれば、$x_1 = -c\sqrt{10}/2$、$x_2 = 2c$。よって、

$$W(0) = \left\{ c \begin{pmatrix} -\sqrt{10}/2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \,\middle|\, c \in \mathbb{R} \right\}$$

$\lambda = 5$ の場合： $5I - A$ を簡約化して、

$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix} 3 & 0 & -\sqrt{10} \\ 0 & 6 & -2 \\-\sqrt{10} & -2 & 4 \end{pmatrix} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\sqrt{10}/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\-\sqrt{10} & -2 & 4\end{pmatrix} && \begin{aligned} 1行目 &\times 1/3 \\ 2行目 &\times 1/6 \end{aligned} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\sqrt{10}/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} && \begin{aligned} 3行目 &+ 1行目 \times \sqrt{10} \\ &+ 2行目 \times 2 \end{aligned}\end{aligned}$$

したがって、

$$W(5) = \left\{ c \begin{pmatrix} \sqrt{10}/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{pmatrix} \,\middle|\, c \in \mathbb{R} \right\}$$

$\lambda = -3$ の場合： $-3I - A$ を簡約化して、

$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix} -5 & 0 & -\sqrt{10} \\ 0 & -2 & -2 \\-\sqrt{10} & -2 & -3\end{pmatrix} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{10}/5 \\ 0 & 1 & 1 \\-\sqrt{10} & -2 & -3\end{pmatrix} && \begin{aligned} 1行目 &\times -1/5 \\ 2行目 &\times -1/2 \end{aligned} \\ \rightarrow&\begin{pmatrix} 1 & 0 & \sqrt{10}/5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} && \begin{aligned} 3行目 &+ 1行目 \times \sqrt{10} \\ &+ 2行目 \times 2 \end{aligned}\end{aligned}$$

したがって、

$$W(-3) = \left\{ c \begin{pmatrix} -\sqrt{10}/5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \,\middle|\, c \in \mathbb{R} \right\}$$