与えられた行列を A として、A の固有値 λ=0,5,−3 に属する固有空間 W(λ)={x∣(λI−A)x=0} を求めます。
λ=0 の場合: 固有空間は W(0)={x∣Ax=0} なので A を簡約化して、
→→→⎝⎛20100−121021⎠⎞⎝⎛101001210/2−21⎠⎞⎝⎛10001210/2−2−4⎠⎞⎝⎛10001010/2−20⎠⎞1行目2行目×1/2×−13行目+1行目×−103行目+2行目×−2
すなわち、
W(0)=⎩⎨⎧⎝⎛x1x2x3⎠⎞∣∣⎝⎛10001010/2−20⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=0⎭⎬⎫
c を任意定数として x3=c とすれば、x1=−c10/2、x2=2c。よって、
W(0)=⎩⎨⎧c⎝⎛−10/221⎠⎞∣∣c∈R⎭⎬⎫
λ=5 の場合: 5I−A を簡約化して、
→→⎝⎛30−1006−2−10−24⎠⎞⎝⎛10−1001−2−10/3−1/34⎠⎞⎝⎛100010−10/3−1/30⎠⎞1行目2行目×1/3×1/63行目+1行目×10+2行目×2
したがって、
W(5)=⎩⎨⎧c⎝⎛10/31/31⎠⎞∣∣c∈R⎭⎬⎫
λ=−3 の場合: −3I−A を簡約化して、
→→⎝⎛−50−100−2−2−10−2−3⎠⎞⎝⎛10−1001−210/51−3⎠⎞⎝⎛10001010/510⎠⎞1行目2行目×−1/5×−1/23行目+1行目×10+2行目×2
したがって、
W(−3)=⎩⎨⎧c⎝⎛−10/5−11⎠⎞∣∣c∈R⎭⎬⎫