電気鏡像法についての問題解説お願いします。【問題】電荷$-Q$を持つ半径$a$の絶縁された導体球の中心$O$からの距

Question

電気鏡像法についての問題解説お願いします。  【問題】 電荷$-Q$を持つ半径$a$の絶縁された導体球の中心$O$からの距離$b(b>a)$のところに点電荷$Q$がある。 この場合の電気鏡像を答えよ。  ただし、前問によって 半径$a$の"接地した"導体球の中心$O$からの距離$b(b>a)$のところに点電荷$Q$があるときの電気鏡像は 球の中心より距離$\frac{a^2}{b}$の位置に$-Q'=-\frac{aQ}{b}$であることは既知のものとする。  【解答】 絶縁された導体球の帯電電荷$-Q$の存在と、球表面が等電位ということを考慮して、新たな電気鏡像$-Q''$を配置する。 $$-Q'' = -Q + Q' = -Q + \frac{aQ}{b} = -Q(1-\frac{a}{b})$$ を点$O$におけばいい。

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

電気鏡像法(影像法)とは、誘電率が異なる $2$ つの空間などにおいて、その境界条件を満たすように新たに仮想電荷を設置することで、境界を無視して電界や電位を求める方法です。

まず、球導体が接地されている場合、導体表面の電位は $0$ となります。

この条件下では、電荷 $Q'$ を配置して考えます。これは既知としてよいと書かれてありますが、こちらも重要なので導出できるようにしておいた方がよいと思います。

今回は球導体が絶縁されています。

ここで、球導体の電荷が $0$ である場合を考えてみましょう。

このとき、球導体から出る電束はありません。つまり、球の中心に $Q''=Q'$ を配置すれば球導体内部の電荷が打ち消され、電束がないという条件に一致します。

今回は球導体に $-Q$ の電荷が帯電されているので、求める影像電荷は $Q''=-Q+Q'$ となります。

電気鏡像法についての問題解説お願いします。

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電気鏡像法(影像法)とは、誘電率が異なる $2$ つの空間などにおいて、その境界条件を満たすように新たに仮想電荷を設置することで、境界を無視して電界や電位を求める方法です。

質問者からのお礼コメント

球導体が絶縁されていることに注目して、球導体から出る電束が0になるように調節すればいいんですね！

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電気鏡像法(影像法)とは、誘電率が異なる 222 つの空間などにおいて、その境界条件を満たすように新たに仮想電荷を設置することで、境界を無視して電界や電位を求める方法です。

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球導体が絶縁されていることに注目して、球導体から出る電束が0になるように調節すればいいんですね！

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電気鏡像法(影像法)とは、誘電率が異なる $2$ つの空間などにおいて、その境界条件を満たすように新たに仮想電荷を設置することで、境界を無視して電界や電位を求める方法です。