添付の画像の途中式と解説をお願いできますか。

※単位の $\mathrm{cm}, \mathrm{cm}^2$ を一々つけるのは煩わしいので省きます。最後の答えにだけつけることにします。

(1)

　$\triangle AJD, \triangle CJF$ は相似で、その相似比は $AD : CF = 5 : 3$。だから、$AJ : CJ = 5 : 3$。したがって、

$$JC = AC \times \frac{3}{5 + 3} = \frac{75}{8} \mathrm{cm}。$$

(2)

　$\triangle HJI$ の面積を求めたい。そのためには、$\triangle HJI$ と相似である $\triangle AJD$ の面積と、これらの相似比とが分かればよい。

　まず $\triangle AJD$ の面積から求める。辺 $AJ$ を底辺とすれば、その長さは $\dfrac{5}{8} \times AC$。$AJ$ に垂直な高さは $\dfrac{1}{2} \times BD$。したがって $\triangle AJD$ の面積は、

$$\frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{8} \times AC \right) \times \left(\frac{1}{2} \times BD \right) = \frac{5 \times 25^2}{32}。$$

　次に $\triangle HJI, \triangle AJD$ の相似比を求める。$AJ : AC = 5 : 8$ だから、$AJ = \dfrac{5}{8} \times AC$。$AH : AC = 3 : 10$ だから、$AH = \dfrac{3}{10} \times AC$。したがって、

$$HJ = AJ - AH = \left(\frac{5}{8} - \frac{3}{10}\right) \times AC = \frac{13}{40} \times AC。$$

つまり、相似比は $HJ : AJ = \dfrac{13}{40} : \dfrac{5}{8} = 13 : 25$。

　一般にいって、相似比が $a : b$ の $2$ つの $3$ 角形の面積比は $a^2 : b^2$ なので、

$$\triangle HJI = \frac{13^2}{25^2} \times \triangle AJD = \frac{13^2}{25^2} \times \frac{5 \times 25^2}{32} = \frac{845}{32} \mathrm{cm}^2。$$