多項式 $P(z)$ の零点を $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N$ とすれば、

$$P(f(z)) = \prod_{k = 1}^N (f(z) - \alpha_k)$$

と書ける。ここで簡単のために $g_k(z) = f(z) - \alpha_k$ とおく。$g_1, g_2, \cdots, g_N$ は明らかに位数 $n$ の楕円関数である。一般に楕円関数の位数は基本領域内の（重複まで込めた）零点の個数に等しいから、$g_1, g_2, \cdots, g_N$ はそれぞれ $n$ 個の零点をもつ。したがって楕円関数 $P(f(z)) = g_1(z)g_2(z)\cdots g_N(z)$ は（重複まで込めて）$nN$ 個の零点をもつ。すなわち位数 $nN$ である。

　楕円関数のことはよく知りませんがこういうことではないでしょうか。