(4)番がわかりません

＊簡単に単振動について説明した後に回答に入ります。（多分分かってそうだなとは思いますが、一応です。基礎事項のチェックぐらいに思ってください。）

$\underline{単振動}$

ある質点が以下の条件のもと一次元振動を行っているとする。

・角速度$\omega$の等速円運動の影の運動になっている。（なお、この$\omega$を単振動では角振動数という。）

・振動中心の座標を$x=x_0$とする。

・振幅（影を作る円運動の半径に対応）が$A$

このとき、質点の座標は

$$x=x_0+A\sin(\omega t +\phi)$$

となることが分かる。ここで$\phi$は初期位相であり、$\phi\neq 0$ならば初期状態で質点は振動中心からずれている。

これを時間で微分すれば速度が得られる。（微分を用いない導出もできますが、授業や教科書でやっていると思うので今回はこっちでやります。）

$$v=A\omega \cos(\omega t +\phi)$$

さらに速度を時間で微分すれば加速度が得られる。

$$\alpha=-A\omega^2 \sin(\omega t +\phi)=-\omega^2(x-x_0)$$

したがってこの振動は加速度が$-(x-x_0)$に比例するときに発生する。Newtonの運動方程式を思い出せば、合力も$-(x-x_0)$に比例しているはずである。よって、この振動の運動方程式は以下のようになる。

$$m\alpha=-K(x-x_0)$$

この運動方程式で記述される運動を$\bm{単振動}$と呼ぶ。

また、計算として便利な式を一つ導いておく。（これを試験でいきなり使うと減点の可能性があるので、導出してから用いることを勧める。）

これまでの議論から以下が正しいことが分かる。

$$\frac{x-x_0}{A}=\sin(\omega t+\phi),\quad \frac{v}{A\omega}=\cos(\omega t +\phi)$$

ここで、三角関数の基本式$\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$を用いれば

$$\left(\frac{x-x_0}{A}\right)^2+\left(\frac{v}{A\omega}\right)^2=1$$

よって、これを$\ A>0\$のもと整理すれば

$$A=\sqrt{(x-x_0)^2+\frac{v^2}{\omega^2}}$$

と得られる。この式は、『ある時刻における$(x-x_0)$と$v$が分かって、かつ角振動数$\omega$という情報が分かっていれば振幅が求まる』というものである。（なお、解答プリントに書いてある単振動の公式は正にこれと同等である。）

$\underline{(3)と(4)の解答}$

$(3)$

この小球の位置を$x$とすれば運動方程式は

$$m\alpha=mg-kx=-k\left(x-\frac{mg}{k}\right)$$

ここで

$$k=\frac{mg}{a}$$

を用いれば

$$m\alpha=-\frac{mg}{a}(x-a)$$

したがってこれは$x=a$を振動中心とする単振動。

$(4)$

$t=0$にて

$$x-x_0=x-a=a,\quad v=\nu$$

の状況を考えればよい。

この時の振幅は先程導いた公式より

$$A=\sqrt{a^2+\frac{\nu^2}{\omega^2}}$$

また、運動方程式と加速度の表式より

$$-m\omega^2(x-a)=-\frac{mg}{a}(x-a)$$

$$\omega^2=\frac{g}{a}$$

したがって

$$A=\sqrt{a^2+\frac{\nu^2a}{g}}$$

と分かる。よって、最下点の座標は$\ x_0+A\$と書けるから、最下点の座標は

$$x_{low}=x_0+A=a+\sqrt{a^2+\frac{\nu^2a}{g}}$$

となる。