y=xが全ての点において連続であることはどうやって示しますか？

高校範囲の場合の追記。

右極限と左極限が一致するとき、その点で連続。

というやり方です。

5分ぐらいx^2の場合考えましたが、わたくし凡人のためちょっとよくわかりませんでした。いろんなパターンをみることで体系的に理解するタイプでして、x^2の場合の証明を教えていだけませんでしょうか。

了解しました。

$f(x)=x^2$とする。

任意の$\epsilon\gt0$に対して$\delta\gt0$が存在し、$|x-x_0|\lt\delta$とする。

このとき、三角不等式から

$$|x|\lt |x-x_0|+|x_0|=\delta+|x_0|$$

である。

$$\begin{align*}|f(x)-f(x_0)|&=|x^2-x_0^2|\\&=|x+x_0||x-x_0|\\&\lt(|x|+|x_0|)|x-x_0|\\&\lt\{(\delta+|x_0|)+|x_0|\}\delta\\&=(\delta+2|x_0|)\delta\end{align*}$$

続きます。

ここで、

$$\delta=\sqrt{|x_0|^2+\epsilon}-|x_0|$$

とおくと、

$$\begin{align*}(\delta+2|x_0|)\delta&=(\sqrt{|x_0|^2+\epsilon}-|x_0|+2|x_0|)(\sqrt{|x_0|^2+\epsilon}-|x_0|)\\&=(\sqrt{|x_0|^2+\epsilon}+|x_0|)(\sqrt{|x_0|^2+\epsilon}-|x_0|)\\&=(\sqrt{|x_0|^2+\epsilon})^2-|x_0|^2\\&=|x_0|^2+\epsilon-|x_0|^2\\&=\epsilon\end{align*}$$

任意の$x_0$に対して上記が成り立つので、$f(x)=x^2$は$(-\infty,\infty)$で連続。

5行目の＝は<ですか？

5行目は$=$です。式変形の途中で$\lt$挟んでるので、最終的には$|f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon$が言えます。

$f(x)=x^3$のときはその式変形から、$\delta\lt1$とすれば

$$\lt\delta(1+3|x_0|+3|x_0|^2)$$

なので、$\delta\lt\dfrac{\epsilon}{1+3|x_0|+3|x_0|^2}$となるような$\delta$をとれば$|f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon$が言えますね。

連続証明は$|f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon$を示すのが目的ですので、不等式を繰り返して上から抑えていく感じになります。

この辺は、息抜きに考えるのはいいかと思いますが、まずは高校数学からですね。受験勉強頑張りましょう。

存在証明はほんとにいろんなやり方あるんですね〜。おもしろそうです。すごいやる気上がりました！