オイラーラグランジュ　等周問題

以前、同じ質問を投稿したのですが、操作ミスで他の方からのコメントを頂けない状態にしてしまったので再度投稿します。

参考リンク

https://www.ship.nias.ac.jp/personnel/horiken/Lecture_Note/Appl-Math_Chap-7.pdf

[問]

周の長さ$l$を持ち全く交叉しない平面曲線の内、面積を最大にする曲線を求めよ

[解](オイラー方程式の導出まで)

平面曲線を

$$x = x(t) \\y = y(t) \\(t_1 \leqq t \leqq t_2) \\\hat{x} = \dfrac{dx}{dt}\\\hat{y} = \dfrac{dy}{dt}$$

とすると、この問題を解くための汎関数の被積分関数$L$は

$$L = \dfrac{1}{2}(x\hat{y} - y\hat{x}) + \lambda\sqrt{\hat{x}^2 + \hat{y}^2}$$

となります。ここで$\lambda$はラグランジュ未定乗数です 。

このオイラー方程式は

$$\dfrac{\partial L}{\partial x} - \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \hat{x}}\right) ・・・(*) \\=\dfrac{\hat{y}}{2} - \dfrac{d}{dt} \left(-\dfrac{y}{2} + \lambda \dfrac{\hat{x}}{\sqrt{\hat{x}^2 + \hat{y}^2}} \right) = 0 ・・・(**)\\$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial y} - \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \hat{y}} \right) \\=\dfrac{\hat{x}}{2} - \dfrac{d}{dt} \left(-\dfrac{x}{2} + \lambda \dfrac{\hat{y}}{\sqrt{\hat{x}^2 + \hat{y}^2}} \right) = 0 \\$$

となります。

[疑問]

式(*)から式(**)が成り立つためには

$$\dfrac{d\hat{y}}{dx}, \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d\hat{x}}{dx}, \dfrac{dx}{d\hat{x}}, \dfrac{d\hat{y}}{d\hat{x}}, \dfrac{dy}{d\hat{x}} = 0$$

が成り立たなければいけません。

$\hat{x}$と$\hat{y}$は拘束条件に含まれているので、互いに独立として計算してよく

$$\dfrac{d\hat{y}}{d\hat{x}} = 0$$

が成り立つのは理解できます。

$x(t)$と$y(t)$に関しては

$$x(t) = t \\y(t) = 2t \\\dfrac{dy}{dx} = 2$$

のように独立でない場合はあるが、この問題では解く前には$x(t)$と$y(t)$の形は決まっておらず、独立と考えることができ、よって

$$\dfrac{d\hat{y}}{dx}, \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{dy}{d\hat{x}} = 0$$

が成り立つと考えればよいのでしょうか？

さらに$\hat{x}$と$x$についてですが

$\dfrac{d\hat{x}}{dx}$については

$$\dfrac{d\hat{x}}{dx} = \dfrac{d}{dx}\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt}1 = 0$$

と考えればよいのでしょうか？

$\dfrac{dx}{d\hat{x}}$に関しては、何故0になるのか分かりません。

お手数おかけしますが、ご教授お願い致します。