相加平均・相乗平均の不等式はどこの分野で使うのでしょうか？

相加相乗平均を使用する分野は不等式の分野や、関数の最小値を求める問題などで利用されます。

最小値の問題でよく頻出するのでここではそちらを紹介します。

例題

$x\gt0$ の時以下の最小値を求めよ。

$x+\frac{1}{x}+3$

以上の様に、最小値を求める問題で、項同士をかけてあげると文字が消える数式の際には相加相乗平均を用いると最小値をかんたんに求めることができます。

解答

$x\gt0$ より $\frac{1}{x}\gt0$ なので

相加相乗平均の大小関係より

$x+\frac{1}{x}\geqq2\sqrt{x\times\frac{1}{x}}=2$

よって

$x+\frac{1}{x}+3\geqq5$

ここで、相加相乗平均の等号成立条件より

$$x=\frac{1}{x}x^2=1x\gt0よりx=1$$

よって成立する。

よって与式の最小値は $5$ となる。

等号条件を使うのは5以上というのは決まっていてもその与式が6以上のことなどあることがあるので5という値を取りうるかを確認する必要があるからです。

忘れがちなので注意してください。