こちらの問題の解法がわからないので、どなたか教えていただけるとありがたいです。

(1) $\lambda = 0$ として以下の方程式を解きます。

$$\dfrac{dx}{dt}(t,0) = x' = x(1-x), \; x(0) = 0$$

これはベルヌーイ型の微分方程式ですが、初期条件 $x(0) = 0$ に注目すると、以下のような状況です。

・$t = 0$ で位置 $x = 0$

・$t = 0$ で速度 $\dfrac{dx}{dt} = 0$

さらに加速度についても

$$\dfrac{d^2x}{dt^2} = x'' = (1-2x)\dfrac{dx}{dt}$$

より、$t = 0$ で加速度 $x''= 0$

したがって、(1)の解は解かずして

$$x(t, 0) = 0$$

です。（時刻 $t$ によらず、常に位置 $x=0$ に留まる）

(2)以降は $(x,t) = (0,0)$ を停留点として解けば良さそうですが解けませんでした、、、