全体の解説をお願いしたいのですが、特にこの積分を解く際の積分区分の求め方がわかりません

$$\int_0^{\sqrt{2}} 2x^3 e^{-x^2} \ dx$$

$t = x^2$ とすると、 $dt = 2x dx$ ですので、

$$\int_0^{\sqrt{2}} 2x^3 e^{-x^2} \ dx \\= \int_0^2 t e^{-t} \ dt$$

という積分に移ります。あとはこれを解けばいいでしょう。

さて、「積分区分の求め方」についてです。

おそらく「積分区間」のことですよね。

$t = x^2$ としているので、 $x$ が $0 \to \sqrt 2$ を動くとき、$t$ が $0 \to 2$ を動きます。

続いて、「積分区分（積分区間）は置換積分の時だけ使うのでしょうか？」についてですが、積分区間は定積分の時に用います。

- 定積分（積分区間が決まっている）

- 不定積分（積分区間が決まっていない）

という違いです。「置換積分」はあくまで積分の計算方法に関する話なので積分区間の有無とは関係ありません。