解決済み

(1)と(2)の解説をお願いします

重積分は苦手です…

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(1)

0y1x2    {0yy21x2    {0yx2+y21\begin{aligned}& 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \\& \iff\begin{cases}0 \leq y \\y^2 \leq 1-x^2\end{cases} \\& \iff\begin{cases}0 \leq y \\x^2 + y^2 \leq 1\end{cases}\end{aligned}


したがって、Dは単位円(原点を中心とする半径1の円)の上半分(内側を含む)となります。


(2)

先に yy で積分したあとに xx で積分します。

J=Dx2y dxdy=11x2 dx01x2y dy=11x212(1x2) dx=12[13x315x5]11=215\begin{aligned}J &= \iint_D x^2 y \ dx dy \\&= \int_{-1}^{1} x^2 \ dx \int_0^{\sqrt{1-x^2}} y \ dy \\&= \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \dfrac{1}{2}(1-x^2) \ dx \\&= \dfrac{1}{2} [ \dfrac{1}{3} x^3 - \dfrac{1}{5} x^5 ]_{-1}^{1} \\&= \dfrac{2}{15}\end{aligned}


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