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nn 回の復元抜き取りを行って、全て外れである確率は 0.99n0.99^n です。


したがって、nn 回の復元抜き取りを行って少なくとも一回あたる確率は

10.99n1 - 0.99^n

です。この値が0.75を超えるような nn を求めれば良いです。

10.99n0.75    0.99n0.25    nlog0.99log0.25    nlog0.25log0.99=137.9...\begin{aligned}1 - 0.99^n &\geq 0.75 \\\iff 0.99^n &\leq 0.25 \\\iff n \log 0.99 &\leq \log 0.25 \\\iff n &\geq \dfrac{\log 0.25}{\log 0.99} = 137.9...\end{aligned}

nn は自然数なので、求める答えは 138 です。


補足

log0.99<0\log 0.99 < 0 なので、両辺を log0.99\log 0.99 で割るときに不等号が反転します。

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