解決済み

全部わかんないのですが全部は大変なので(1)、(2)、(3)の問題の解説をお願いします


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偶関数と奇関数を見つけてうまく積分しましょう。

積分範囲が ππ- \pi \to \pi なので、積分計算をするまでもなく奇関数の積分が0になるからです。


偶関数と奇関数がわからない場合はこれを読んだらわかります。

https://manabitimes.jp/math/1052

まず、f(x)f(x)

f(x)=2sinx+3sin2x+4cos3x=(奇関数)+(奇関数)+(偶関数) \begin{aligned}f(x) &= 2 \sin x + 3 \sin 2x + 4 \cos 3x \\ &= \text{(奇関数)+(奇関数)+(偶関数) }\end{aligned}


(1)2π2 \pi


(2)

f(x)sinx=(2sinx+3sin2x+4cos3x)sinx= [(奇関数)+(奇関数)+(偶関数)] × (奇関数) = [(偶関数)+(偶関数)+(奇関数)] \begin{aligned}f(x) \sin x &= (2 \sin x + 3 \sin 2x + 4 \cos 3x) \sin x \\ &= \text{ [(奇関数)+(奇関数)+(偶関数)] } \times \text{ (奇関数) } \\ &= \text{ [(偶関数)+(偶関数)+(奇関数)] }\end{aligned}

つまり、前の2つの項は偶関数で、最後の項は奇関数になります。

ππf(x)sinxdx=ππ [(偶関数)+(偶関数)+(奇関数)] dx=20π [(偶関数)+(偶関数)] dx=20π(2sin2x+3sin2xsinx)dx=20π((1cos2x)+6sin2xcosx)dx=2[x12sin2x+2sin3x]0π=2π\begin{aligned}& \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin x \, dx \\&= \int_{- \pi}^{\pi} \text{ [(偶関数)+(偶関数)+(奇関数)] } \, dx \\&= 2 \int_{0}^{\pi} \text{ [(偶関数)+(偶関数)] } \, dx \\&= 2 \int_{0}^{\pi} ( 2 \sin^2 x + 3 \sin 2x \sin x ) \, dx \\&= 2 \int_{0}^{\pi} ( (1 - \cos 2x) + 6 \sin^2 x \cos x ) \, dx \\&= 2 [x - \dfrac{1}{2} \sin 2x + 2 \sin^3 x]_{0}^{\pi} \\&= 2 \pi\end{aligned}

よって、

1πππf(x)sinxdx=2\dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin x \, dx = 2

です。


(3)

同様に、

ππf(x)sin2xdx=ππ [(偶関数)+(偶関数)+(奇関数)] dx=20π [(偶関数)+(偶関数)] dx=20π(2sinxsin2x+3sin22x)dx\begin{aligned}& \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin 2x \, dx \\&= \int_{- \pi}^{\pi} \text{ [(偶関数)+(偶関数)+(奇関数)] } \, dx \\&= 2 \int_{0}^{\pi} \text{ [(偶関数)+(偶関数)] } \, dx \\&= 2 \int_{0}^{\pi} ( 2 \sin x \sin 2x + 3 \sin^2 2x) \, dx\end{aligned}


(2)の過程で答えが分かっている積分結果を有効活用しましょう。


ππf(x)sin2xdx=60πsin22xdx=6π2=3π1πππf(x)sin2xdx=3\begin{aligned}& \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin 2x \, dx \\&= 6 \int_{0}^{\pi} \sin^2 2x \, dx \\&= 6 \cdot \dfrac{\pi}{2} \\&= 3 \pi \\& \therefore \dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin 2x \, dx = 3\end{aligned}



(4)

1πππf(x)sin3xdx=0\dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin 3x \, dx = 0



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