解決済み

偏導関数の問題です

xを求める時はすんなり解けるのですが、yを求める時は+をしなきゃいけない理由がわかりません

このパターンが逆の時もあり、困ってます

公式を見ても理解できません

至急解説お願いします

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z=yx2+y2=y(x2+y2)12z = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = y \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}}


そこで、

f(y)=y,g(x,y)=(x2+y2)12f(y) = y, \\g(x,y) = \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}}

と置いてみましょう。つまり z=f(y)g(x,y)z = f(y) g(x,y) です。


下準備をしてみましょう。


まず f(y)f(y) について

fx(y)=0,fy(y)=1,\dfrac{\partial f}{\partial x} (y) = 0, \\\dfrac{\partial f}{\partial y} (y) = 1, \\


次に g(x,y)g(x, y) について

gx(x,y)=x(x2+y2)12=12(x2+y2)32(2x)=x(x2+y2)32,gy(x,y)=y(x2+y2)32,\begin{aligned}\dfrac{\partial g}{\partial x} (x,y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}} \\&= - \dfrac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \cdot (2x) \\&= - x \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}}, \\\dfrac{\partial g}{\partial y} (x,y) &= - y \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}},\end{aligned}


ここまではただの偏微分です。まずは xx で偏微分。

zx=(f(y)g(x,y))x=f(y)gx(x,y)=y(x)(x2+y2)32=xy(x2+y2)32\begin{aligned}\dfrac{\partial z}{\partial x} &= \dfrac{\partial (f(y)g(x,y))}{\partial x} \\&= f(y) \dfrac{\partial g}{\partial x} (x,y) \\&= y \cdot(- x) \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \\&= - xy \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}}\end{aligned}


yy でも同様です。

zy=(f(y)g(x,y))y=f(y)yg(x,y)+f(y)g(x,y)y=1(x2+y2)12+y[y(x2+y2)32]=(x2+y2)32[(x2+y2)y2]=x2(x2+y2)32\begin{aligned}\dfrac{\partial z}{\partial y} &= \dfrac{\partial (f(y) g(x,y))}{\partial y} \\&= \dfrac{\partial f(y)}{\partial y} g(x,y) + f(y) \dfrac{\partial g(x,y)}{\partial y} \\&= 1 \cdot \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}} +y \cdot \left[ - y \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \right] \\&= \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \left[ (x^2 + y^2) - y^2 \right] \\&= x^2 \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}}\end{aligned}


丁寧にひとつずつ偏微分すれば大丈夫ですよ!頑張ってください

質問者からのお礼コメント

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ありがとうございます!

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