偏導関数の問題です

$$z = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = y \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}}$$

そこで、

$$f(y) = y, \\g(x,y) = \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}}$$

と置いてみましょう。つまり $z = f(y) g(x,y)$ です。

下準備をしてみましょう。

まず $f(y)$ について

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} (y) = 0, \\\dfrac{\partial f}{\partial y} (y) = 1, \\$$

次に $g(x, y)$ について

$$\begin{aligned}\dfrac{\partial g}{\partial x} (x,y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}} \\&= - \dfrac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \cdot (2x) \\&= - x \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}}, \\\dfrac{\partial g}{\partial y} (x,y) &= - y \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}},\end{aligned}$$

ここまではただの偏微分です。まずは $x$ で偏微分。

$$\begin{aligned}\dfrac{\partial z}{\partial x} &= \dfrac{\partial (f(y)g(x,y))}{\partial x} \\&= f(y) \dfrac{\partial g}{\partial x} (x,y) \\&= y \cdot(- x) \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \\&= - xy \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}}\end{aligned}$$

$y$ でも同様です。

$$\begin{aligned}\dfrac{\partial z}{\partial y} &= \dfrac{\partial (f(y) g(x,y))}{\partial y} \\&= \dfrac{\partial f(y)}{\partial y} g(x,y) + f(y) \dfrac{\partial g(x,y)}{\partial y} \\&= 1 \cdot \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{1}{2}} +y \cdot \left[ - y \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \right] \\&= \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}} \left[ (x^2 + y^2) - y^2 \right] \\&= x^2 \left( x^2 + y^2 \right)^{- \frac{3}{2}}\end{aligned}$$

丁寧にひとつずつ偏微分すれば大丈夫ですよ！頑張ってください