なす角の解説をお願いします

三次元ベクトルの内積からなす角を求める問題です。

$$u = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix},v = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$

に対して、その内積は

$$\begin{aligned}u \cdot v &= \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \\&= -1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\&= 0 \end{aligned}$$

となります。

すなわち、二つのベクトルは三次元空間で直交しているということです。

つまり、なす角は $90^{\circ}$ あるいは $\dfrac {\pi}{2}$ です。