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なす角の解説をお願いします

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三次元ベクトルの内積からなす角を求める問題です。

u=(122),v=(201)u = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix},v = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}

に対して、その内積は

uv=(122)(201)=12+20+21=0\begin{aligned}u \cdot v &= \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \\&= -1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\&= 0 \end{aligned}

となります。

すなわち、二つのベクトルは三次元空間で直交しているということです。


つまり、なす角は 9090^{\circ} あるいは π2\dfrac {\pi}{2} です。

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