[7]の問題の解説をお願いします…

空間上の直線の問題ですが、位置ベクトルを理解していると解きやすいですよ

この形式の方程式を見たら、定石として右辺を定数 $k$ とおくのです。

$$\dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z + 1}{4} = k$$

これより、

$$\begin{cases}x = 3k - 2 \\y = -k + 3 \\z = 4k - 1\end{cases}$$

ベクトルで表示すると、直線 $\ell$ 上の点は

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ x\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix}$$

です。

つまり、直線 $\ell$ は点 $\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix}$ と通る、方向ベクトルが $\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}$ の直線です。

さて、直線 $\ell$ 上の点 $\mathrm{P}$ の位置関係を求めていきます。

位置ベクトルは

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix},\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}$$

ですから、

$$\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&= \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\&= k\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}3k - 6 \\ -k \\ 4k - 2\end{pmatrix}\end{aligned}$$

点 $\mathrm{P}$ と直線 $\ell$ の距離は $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$ です。

$$\begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| ^ 2 & = (3k -6)^2 + (-k)^2 + (4k-2)^2 \\&= 26(k-1)^2 + 14\end{aligned}$$

よって距離は $k = 1$ の時に、最小値 $\sqrt{14}$ をとります。

この時、点 $\mathrm{P}$ は $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ です。

さらに、$k = 1$ の時に

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$$

であり、直線 $\ell$ の方向ベクトルとの内積から直行関係を調べると、

$$\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} = 0$$

なので、$\mathrm{AP} \perp \ell$ も示せました。