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[7]の問題の解説をお願いします…

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空間上の直線の問題ですが、位置ベクトルを理解していると解きやすいですよ


この形式の方程式を見たら、定石として右辺を定数 kk とおくのです。

x+23=y31=z+14=k\dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z + 1}{4} = k

これより、

{x=3k2y=k+3z=4k1\begin{cases}x = 3k - 2 \\y = -k + 3 \\z = 4k - 1\end{cases}

ベクトルで表示すると、直線 \ell 上の点は

(xyx)=k(314)+(231)\begin{pmatrix}x \\ y \\ x\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix}

です。

つまり、直線 \ell は点 (231)\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix} と通る、方向ベクトルが (314)\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} の直線です。


さて、直線 \ell 上の点 P\mathrm{P} の位置関係を求めていきます。


位置ベクトルは

OPundefined=k(314)+(231),OAundefined=(431)\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1\end{pmatrix},\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}

ですから、

APundefined=OPundefinedOAundefined=k(314)+(602)=(3k6k4k2)\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&= \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\&= k\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}3k - 6 \\ -k \\ 4k - 2\end{pmatrix}\end{aligned}


P\mathrm{P} と直線 \ell の距離は OAundefined|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| です。

OAundefined2=(3k6)2+(k)2+(4k2)2=26(k1)2+14\begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}| ^ 2 & = (3k -6)^2 + (-k)^2 + (4k-2)^2 \\&= 26(k-1)^2 + 14\end{aligned}

よって距離は k=1k = 1 の時に、最小値 14\sqrt{14} をとります。

この時、点 P\mathrm{P}(x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3) です。


さらに、k=1k = 1 の時に

APundefined=(312)\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}

であり、直線 \ell の方向ベクトルとの内積から直行関係を調べると、

(314)(312)=0\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} = 0

なので、AP\mathrm{AP} \perp \ell も示せました。

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3問も解説していただきありがとうございました!

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