[5]、[6]、[7]の解説をお願いします

[5]は三次元空間における直線の交点と平面の方程式の問題ですね

（質問は小分けにして1つずつ質問した方が回答されやすいですよ、5だけ答えますね。）

まず交点 $(\alpha, \beta, \gamma)$ を求めます。

直線 $\ell$ について、定数 $k$ を用いて

$$\dfrac{\alpha + 1}{2} = \dfrac{\beta + 2}{5} = \dfrac{\gamma + 5}{3} = k$$

と表します。交点 $(\alpha, \beta, \gamma)$ はもちろん直線 $\ell$ の上にあるから代入してOKです。

これから

$$\begin{cases}\alpha = 2k -1 \\\beta = 5k - 2 \\\gamma = 3k- 5\end{cases}$$

同様に定数 $k'$ を用いて、直線 $m$ に対して

$$\begin{cases}\alpha = 3k' + 4 \\\beta = 4k' + 7 \\\gamma = 5k' + 3\end{cases}$$

以上の6つの式を連立すると以下の解が得られます。

$$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, k = 1, k' = -1$$

次に、直線 $\ell$ と 直線 $m$ が作る平面の方程式を求めます。

直線 $\ell$ は定数 $A$ を用いて

$$\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 2}{5} = \dfrac{z + 5}{3} = A \\\begin{cases}x = 2A -1 \\y = 5A - 2 \\y = 3A- 5\end{cases} \\\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$$

とできますね。

つまり、直線 $\ell$ は 点$\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}$ を通る、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ の直線です。

同様に直線 $m$ は 点$\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}$ を通る、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ の直線です。

今は直線 $\ell$ と 直線 $m$ がなす平面を知りたいのですね。

つまり、三次元空間において1点$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ を通り，２つの１次独立なベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ で張られる平面の方程式を求めたいのです。

答えは、定数 $s, t$ を用いて

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5\end{pmatrix}$$

です。

三次元空間における直線の方程式の方程式はこのページを読むととてもよくわかります。私も参考にしました。→ https://manabitimes.jp/math/998