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[5]、[6]、[7]の解説をお願いします

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[5]は三次元空間における直線の交点と平面の方程式の問題ですね


(質問は小分けにして1つずつ質問した方が回答されやすいですよ、5だけ答えますね。)


まず交点 (α,β,γ)(\alpha, \beta, \gamma) を求めます。

直線 \ell について、定数 kk を用いて

α+12=β+25=γ+53=k\dfrac{\alpha + 1}{2} = \dfrac{\beta + 2}{5} = \dfrac{\gamma + 5}{3} = k

と表します。交点 (α,β,γ)(\alpha, \beta, \gamma) はもちろん直線 \ell の上にあるから代入してOKです。


これから

{α=2k1β=5k2γ=3k5\begin{cases}\alpha = 2k -1 \\\beta = 5k - 2 \\\gamma = 3k- 5\end{cases}


同様に定数 kk' を用いて、直線 mm に対して

{α=3k+4β=4k+7γ=5k+3\begin{cases}\alpha = 3k' + 4 \\\beta = 4k' + 7 \\\gamma = 5k' + 3\end{cases}


以上の6つの式を連立すると以下の解が得られます。

(αβγ)=(132),k=1,k=1\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, k = 1, k' = -1


次に、直線 \ell と 直線 mm が作る平面の方程式を求めます。

直線 \ell は定数 AA を用いて

x+12=y+25=z+53=A{x=2A1y=5A2y=3A5(xyz)=A(253)+(125)\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 2}{5} = \dfrac{z + 5}{3} = A \\\begin{cases}x = 2A -1 \\y = 5A - 2 \\y = 3A- 5\end{cases} \\\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix}

とできますね。

つまり、直線 \ell は 点(125)\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} を通る、方向ベクトル (253)\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} の直線です。


同様に直線 mm は 点(473)\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} を通る、方向ベクトル (345)\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} の直線です。


今は直線 \ell と 直線 mm がなす平面を知りたいのですね。

つまり、三次元空間において1点(132)\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} を通り,2つの1次独立なベクトル (253),(345)\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} で張られる平面の方程式を求めたいのです。


答えは、定数 s,ts, t を用いて

(xyz)=(132)+s(253)+t(345)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5\end{pmatrix}


です。


三次元空間における直線の方程式の方程式はこのページを読むととてもよくわかります。私も参考にしました。→ https://manabitimes.jp/math/998

補足

「定数 s, t を用いて」

ではなく

「媒介変数 s, t を用いて」

の方が正しいです💦

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