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多角化がわかりません

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どれも基礎的なので対角化について勉強されるといいと思います 


[1](1)


A=(4123)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}


とします。


まずは固有方程式 Ax=λxAx = \lambda x (λ\lambda :固有値, xx :固有ベクトル)を計算します。


Ax=λxAx = \lambda x より (AλI)x=O(A - \lambda I)x = O

AλI=(4λ123λ)A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \\ \end{pmatrix}

で、右辺が OOであることから左辺は正則であってはいけません。


すなわち、行列式 =0= 0 が成り立ちます。

ここでは

(4λ)(3λ)21=0(λ2)(λ5)=0λ=2,5(4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \cdot 1 = 0 \\( \lambda - 2)( \lambda - 5) = 0 \\ \lambda = 2, 5

固有値は λ=2,5 \lambda = 2, 5 とわかりました。


λ=2\lambda = 2 の時、固有方程式を改めて書くと、

(2121)(v1v2)=O\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}= O

これを満たす v1,v2v_1, v_2 の一つの組として

x1=(v1v2)=(12)x_1 =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}


同様にして λ=5\lambda = 5 の時、固有方程式を改めて書くと、

(1122)(v3v4)=O\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_3 \\ v_4 \end{pmatrix}= O

これを満たす v3,v4v_3, v_4 の一つの組として

x2=(v3v4)=(11)x_2 =\begin{pmatrix} v_3 \\ v_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}


正則行列 PPP=(x1,x2)P = (x_1, x_2) です。

P=(1121)P =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}

です。この PP を用いると

P1AP=(2005)P^{-1}AP =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix}

というように対角化できるということです。

なお

P1=13(1121)P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}

です。

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