$x \log x$の極限について、

$0^0$ は不定形であり、その値は $1$ ではありません。$0$ や $\pm\infty$ が絡む極限は不定形である場合が多いので気を付けたいところです。

不定形の極限の問題は、不定形を解消するしかないですね。

$t=-\log{x}$ とおくことで、

$$\lim_{x\to+0}x\log x=\lim_{t\to\infty}-\dfrac{t}{e^t}=0$$

が得られます。最後の等式は、正の実数 $t$ に対する次の不等式から得られますね。

$$e^t>1+t+\dfrac{1}{2}t^2$$