微分方程式$$\sqrt{\tan x} \dfrac{dy}{dx}=y$$を解ける方はいらっしゃいますか?

僕は解法みたいです。

ありがとうございます。

僕も導出見たいです。

お手数ですがよろしくお願いします!

$$\int \frac{1}{\sqrt{\tan x}}dx = \int \frac{1}{y} dy$$

左辺は $t=\sqrt{\tan x}$ と置換すると

$$t^2=\tan x \Leftrightarrow 2t・\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2{x}} \Leftrightarrow 2t・\frac{dt}{dx}=1+t^4$$

よって $dx = \dfrac{2t}{1+t^4}dt$ なので,,

$$\int \frac{1}{t}・\frac{2t}{1+t^4}dt = 2\int \frac{1}{1+t^4}dt$$

どこかで見たことがある

$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \log(t^2+\sqrt{2}t+1)-\log(t^2-\sqrt{2}t+1)+2\arctan(\sqrt{2}t+1)-2\arctan(1-\sqrt{2}t) \right)+C$$

と計算できたはず（$C$は積分定数）。

長すぎるのでこれを$✌$とすると一番上の式が

$$\log{y}=✌ \Leftrightarrow y=e^{✌}$$

$✌$をもとにもどしてあげると

$$y=De^{\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \log(t^2+\sqrt{2}t+1)-\log(t^2-\sqrt{2}t+1)+2\arctan(\sqrt{2}t+1)-2\arctan(1-\sqrt{2}t) \right)} \\ （Dは0でない定数）$$

となるので$t$も元に戻すと

$$y=De^{\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \log(\tan{x} +\sqrt{2 \tan{x} } +1)-\log(\tan{x}-\sqrt{2\tan{x} }+1)+2\arctan(\sqrt{2\tan{x} }+1)-2\arctan(1-\sqrt{2\tan{x} }) \right)}$$

たぶん整理する過程で計算を間違えてますね..

はぁ、、、。

ありがとうございます!!!

自分は解けなかったので。

なるほど。

参考になりました。

えぐ$e$

$Thank you!!$