積分祭りじゃぁー、ということで今日は全部回答します!!
I=21∫logxdx=21xlogx−221∫logx1dx
ここで、∫logx1dxについて、logx=t とし、 dx=2tet2dt
∫logx1dx=2∫et2dt
ここで、相変わらずの誤差関数です、 ∫et2dt=2πerfi(t)+C より
∴I=21(xlogx−2πerfi(logx))+C
二つ目ー
I=∫(2x2logx+x2)dx
ただただこの変形に尽きますね
=31x3+32x3logx−∫32x2dx
よって、
∴I=91x3(1+6logx)+C
三つ目ー
まずは無限積の処理に追われます(笑)
n=0∏m(1+x2n1)
次は自分の思い付きで何とかなりました
n=0∏m((1−x)(1+x2n)1−x)=(1−x)(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2m)1−x
これは分母がトントン拍子に消えていくので
=n=0∏m(1−x2m1−x)
積分範囲が[0,1]なので、上記の数列は∣x2m∣≦1なので無限級数
=n=0∏∞(1−x2m1−x)=−x+1
に収束し、
∴I=∫01(−x+1)dx=21
四つ目ー
I=∫(logx)logπelogx−logπdx
定数が気色悪いので置き換え、
=∫(logx)alogx−bdx
logx=tに置換し、 dx=etdt
=∫ettat−bdt=∫(ett1−a−bett−a)dt
=bΓ(1−a,−x)+Γ(2−a,−x)+C
これは第2種不完全ガンマ積分というものです。ガンマ関数の拡張版ですが正直自分もあまり分かっていません。
Γ(a,t)=∫x∞ta−1e−tdx
これを使いました。
I=logπΓ(−logπ,−x)+Γ(1−logπ,−x)+C
一応解きましたが 返信待ってます