積分投稿!

積分祭りじゃぁー、ということで今日は全部回答します！！

$$I=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\int \sqrt{\log x} dx=\dfrac{1}{\sqrt{2}} x \sqrt{\log x}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int \dfrac{1}{\sqrt{\log x}}dx$$

ここで、$\int \dfrac{1}{\sqrt{\log x}}dxについて、 \sqrt{\log x}=t$ とし、 $dx=2t e^{t^2} dt$

$$\int \dfrac{1}{\sqrt{\log x}}dx=2\int e^{t^2}dt$$

ここで、相変わらずの誤差関数です、　$\int e^{t^2}dt =\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(t)+C$ より

$$∴I=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(x\sqrt{\log x}-\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erfi}(\sqrt{\log x})\right)+C$$

二つ目ー

$$I=\int(2x^2 \log x+x^2)dx$$

ただただこの変形に尽きますね

$$=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{3}x^3\log x-\int \dfrac{2}{3}x^2 dx$$

よって、

$$∴I=\dfrac{1}{9}x^3(1+6\log x)+C$$

三つ目ー

まずは無限積の処理に追われます(笑)

$$\prod_{n=0}^{m}\left(\dfrac{1}{1+x^{2^n}}\right)$$

次は自分の思い付きで何とかなりました

$$\prod_{n=0}^{m}\left(\dfrac{1-x}{(1-x)(1+x^{2^n})}\right)=\dfrac{1-x}{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)…(1+x^{2^m})}$$

これは分母がトントン拍子に消えていくので

$$=\prod_{n=0}^{m}\left(\dfrac{1-x}{1-x^{2^m}}\right)$$

積分範囲が[0,1]なので、上記の数列は$|x^{2^m}|≦1$なので無限級数

$$=\prod_{n=0}^{∞}\left(\dfrac{1-x}{1-x^{2^m}}\right)=-x+1$$

に収束し、

$$∴I=\int_{0}^{1} (-x+1)dx=\dfrac{1}{2}$$

四つ目ー

$$I=\int \dfrac{\log x-\log \pi}{(\log x)^{\log \pi e}}dx$$

定数が気色悪いので置き換え、

$$=\int \dfrac{\log x-b}{(\log x)^{a}}dx$$

$\log x=t$に置換し、　$dx=e^t dt$

$$=\int e^t\dfrac{t-b}{t^a}dt=\int (e^t t^{1-a}-b e^t t^{-a})dt$$

$$=b\Gamma(1-a,-x)+\Gamma(2-a,-x)+C$$

これは第2種不完全ガンマ積分というものです。ガンマ関数の拡張版ですが正直自分もあまり分かっていません。

$$\Gamma(a,t)=\int_{x}^{∞} t^{a-1} e^{-t} dx$$

これを使いました。

$$I=\log \pi \Gamma(-\log \pi,-x)+\Gamma(1-\log \pi,-x)+C$$

一応解きましたが　返信待ってます