Arsenic

積分じゃない投稿!!(100億年ぶりくらいです)

ベクトル解析(?)の分野で、わからない問題があるので質問です。(まだ入門分野です)

問題)

e1→、e2→\overrightarrow{e_1}、\overrightarrow{e_2}をVVの基底、e1′→、e2′→\overrightarrow{{e_1}'}、\overrightarrow{{e_2}'}もVVの基底とする。これらにe1′→=2e1→+e2→\overrightarrow{{e_1}'}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}

e2′→=5e1→+3e2→\overrightarrow{{e_2}'}=5\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}という関係がある。VVの元 v→=x1e1→+x2e2→\overrightarrow{v}=x^1\overrightarrow{e_1}+x^2\overrightarrow{e_2} を

 e1′→、e2′→\overrightarrow{{e_1}'}、\overrightarrow{{e_2}'} の一次結合で    v→=x′1e1′→+x′2e2′→\overrightarrow{v}=x'^1\overrightarrow{{e_1}'}+x'^2\overrightarrow{{e_2}'} と表すとき、 x′1、x′2x'^1、x'^2 を、 x1、x2x^1、x^2 で表せ。

この問題を解ける方はいらっしゃいますか?

なお、解答の際に、e1→\overrightarrow{e_1}などを、e1\mathbf{e_1}などと表していただいても結構です。(書体の問題)

なお、気がかりなことがございましたら、連絡をください。

回答 1件

ベストアンサー

ontama_udon

基底変換行列を使えばそれで十分なので、リンクを貼っときます。

https://mathlandscape.com/matrix-basis-transform/


ただ2次程度なら高校生でも解けるよということで、別の解法(本質的には基底変換行列と変わらない)を示します。

v=x′1e1′+x′2e2′\boldsymbol{v}=x'^1\boldsymbol{e_1'}+x'^2\boldsymbol{e_2'}

=x′1(2e1+e2)+x′2(5e1+3e2)=x'^1(2\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2})+x'^2(5\boldsymbol{e_1}+3\boldsymbol{e_2})

=(2x′1+5x′2)e1+(x′1+3x′2)e2=(2x'^1+5x'^2)\boldsymbol{e_1}+(x'^1+3x'^2)\boldsymbol{e_2}


e1,e2\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}はVVの基底であるから、

x1=2x′1+5x′2かつx2=x′1+3x′2x^1=2x'^1+5x'^2かつx^2=x'^1+3x'^2

これをx′1,x′2x'^1,x'^2について解くと、

x′1=3x1−5x2かつx2=−x1+2x2x'^1=3x^1-5x^2かつx^2=-x^1+2x^2

  • Arsenic

    ありがとうございます。

    自分はまだ知識が浅いので,,,,

    ベクトル解析の道のりはまだまだ長いので、頑張ります。


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