積分投稿!

やっぱり積分できるって幸せですよねー(笑)私も、こういった問題でとても楽しませてもらってます。社会の喧騒から離れられて最高です！

因みに、今回は感動ポイント高めのが多くて気持ちよかったです

$$x=\pi+t　とし、　dx=dt$$

$$I_1=\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{1+e^{-\sin t-\ cos t}}dt$$

ここで、被積分関数を$f(x)$とすると、任意の$xの関してf(x)=f(x+2\pi)$が成立し、周期$2\pi$の関数であり、積分区間の長さがその周期に一致していることから範囲を長さを維持しながらずらしても値は変わらないので、

$$I_1=\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{1+e^{-\sin t-\ cos t}}dt　⇒　\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{1+e^{-(\sin x+\cos x)}}dx$$

(かなりの暴挙かと思われますが多めにお願いします)

よって、

$$2I_1=\int_{0}^{2\pi} \left(\dfrac{1}{1+e^{(\sin x+\cos x)}}+\dfrac{1}{1+e^{-(\sin x+\cos x)}}\right)dx$$

ここから感動しました、

$$=\int_{0}^{2\pi} \left( \dfrac{1}{1+e^{(\sin x+\cos x)}}+\dfrac{e^{(\sin x+\cos x)}}{1+e^{(\sin x+\cos x)}} \right)dx=2\pi$$

$$∴I_1=\pi$$

被積分関数$(以下f(x))$に関して、まず自然対数をとりました。

$$\log f(x)=\log x+\dfrac{(\log x)^2}{2!}+\dfrac{(\log x)^3}{3!}+…$$

$$=\sum_{n=1}^{∞} \dfrac{(\log x)^n}{n!}$$

この処理に時間を費やしてしまいました。遅れてすみません🙇

またしても感動ポイントでした(笑)自分は高校数学の域をまだ出ていないからですかね

さっきの無限級数を$g(x)$とかにしておきます。これを微分します

$$g'(x)=\dfrac{1}{x}\sum_{n=1}^{∞} \dfrac{(\log x)^{n-1}}{(n-1)!}$$ここで出てきた無限級数は初項が$1$ってこと以外は$g(x)$と同じと考えたので、

$$g'(x)=\dfrac{1}{x}(g(x)+1)$$

これで微分方程式の完成ということで、これを解いたら、

$|x|=|y+1|$がでてきます。絶対値は$\log$の名残です。ここからですが取り扱っている関数では常に$x>0$なので$x=|y+1|$とでき、

$$y=-x-1,y=x-1　が出ます$$

先ほど見た無限級数には$\log$が入っており符号は正であるので増加傾向であることが言えるので

$$g(x)=x-1　となり、f(x)=e^{x-1}　が導出できます$$

したがって、

$$I_2=\int_{0}^{2} e^{x-1} dx=e-\dfrac{1}{e}$$

$I_3$に関してですが、結構難しかったです

最初に$\mathrm{king property}$で解消したいことがあるので、

$$x=\dfrac{\pi}{2}-t　とし、dx=-dt$$

$$I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{6\sqrt{\cos t}}{(\sqrt{\sin t}+\sqrt{\cos t})^5}dt$$

よって、

$$I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{3}{(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})^4}dx$$

ここが難所でした。

$$u=\sqrt{\tan x} とし、　\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^4+1}{2u}$$

ここからは広義積分なので不定積分を求めます。

$$\int \dfrac{1}{\cos^2 x+\sin^2 x+6\sin x \cos x+(\sin x +\cos x)\sqrt{\sin x \cos x}}dx$$

完全に変形させます

$$\int \dfrac{1}{1+4\cos^2x \tan x\sqrt{\tan x}+4\cos^2x \sqrt{\tan x}}dx$$

$$=\int \dfrac{2u}{u^4+4u^3+6u^2+4u+1}du=\int \dfrac{2u}{(1+u)^4}du$$

また置換をして、$1+u=v　として、$

$$=2\int\left( \dfrac{1}{v^3}-\dfrac{1}{v^4} \right)dv$$

$$=\dfrac{2}{3v^3}-\dfrac{1}{v^2}+C=\dfrac{2}{3(\sqrt{\tan x}+1)^3}-\dfrac{1}{(\sqrt{\tan x}+1)^2}+C$$

これで、これでやっとできます

$$I_3=3\lim_{\epsilon \to \frac{\pi}{2}} \left[=\dfrac{2}{3(\sqrt{\tan x}+1)^3}-\dfrac{1}{(\sqrt{\tan x}+1)^2} \right]^{\epsilon}_{0}$$

$$=1$$

整数がでました(笑)　長文誠に申し訳ないです　沼った証拠ですね

もし、万が一誤植があればお願いします