積分投稿! この積分えぐかったです。(僕の回答はちと複雑) $$I=\int \sin\left(4\arctan(x)

Question

積分投稿!
この積分えぐかったです。(僕の回答はちと複雑)
$$I=\int \sin\left(4\arctan(x)\right) dx$$を求められる方はいらっしゃいますか?

補足: これは完全に余談なのですが、
$$I=\int \sqrt{1+x^2} \cdot \cos x dx$$
$$I=\int \left(\log x\right)^2 \cdot \cos x dx$$とかいう頭おかしい積分問題と一緒についてきました。(この補足欄の積分問題は、一般化超幾何級数でしか表せないと聞いてブチギレそうになったので晒したまでなのでお気になさらず)　作問者:友人の$T$氏

Enigmathematics · Accepted Answer

今日も積分日和ー

$$I=\int \sin (4	an^{-1}x)dx$$
$	an^{-1}x=t$としましょう、$x=	an t$,　$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{\cos^2 t}$　ですから、
$$(与式)=\int \dfrac{\sin 4t}{\cos^2 t} dt =\int \dfrac{4\sin t \cos t(2\cos^2 t-1)}{\cos^2 t}dt$$
$$=\int \dfrac{4\sin t (2\cos^2 t-1)}{\cos t}dt=\int (8 \sin t \cos t-4	an t)dt$$
したがって、
$$I=-4\cos^2 t+4\log |\cos t|+C$$
戻しまーす
$$=-\dfrac{4}{1+x^2}-2\log (1+x^2)+C$$

こんな感じですね

因みにですが、あの広義積分のやつ答え対称性(周期関数だったから)を利用して解こうと思ったのですが、置換しても気持ち悪くなるだけなのでヤバイな、となっています(笑)

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