サクモンしました！解いてくださいお願いします！

意図が伝わらずすみません。もちろんおっしゃる通りこんな問題、入試に絶対出ないと思います。自分の考えを話させてもらいます。

特性方程式の仕組みを学ぶ際に、裏側には引き算の作業があって、うまくいくようになっている。と習ったことから思いついた問題です。

基本的に特性方程式で解けるニコウカン漸化式は

f(n+1)=pf(n)+q (p、qは定数)

の形と習いますが、裏側の引き算の作業を知っていればこのことを指数関数を含むニコウカン漸化式や、上の漸化式においてqが定数でなくとも特性方程式で簡単に式変形ができるというものです。

おそらくこの解法で解けるほとんどの問題は、文字で置いて恒等式、という流れで解けると思います。

ですが、特性方程式を応用して使うところに面白さを感じたので共有したいなと思ったのであります。引き算の話しからぜひ考えてみてほしいです。

隣接 $2$ 項間の漸化式におけるいわゆる特性方程式とは、特殊解を求める方程式です。特殊解は漸化式を満たす数列のことであり、これを漸化式から引くという操作が、おそらくおっしゃっていることだと考えています。

特殊解については、大学で微分方程式を学ぶと理解できると思います。(一応述べておくと、非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解の和で表されるということです。)

微分方程式は連続な関数に対して定義されるものであり、離散的な数列に対して差分方程式というものを定義し、これが漸化式であると考えると、微分方程式と差分方程式が対応していることによって、これらの本質が同じであることが理解できますね。

また、

$$\dfrac{a_{n+1}-3^{n+1}}{5^{n+1}}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\biggl(\dfrac{a_n-3^n}{5^n}-\dfrac{1}{3}\biggr)$$

で解ける形に変形できていると考えているのですが、想定解はこれとは異なるということですか？

高校数学の中での特性方程式と大学のそれとはなにか違うニュアンスのところがあるのですかね？一応、想定していたのはこれです。高校数学の範囲では、普通は両辺を$2^n$で割ったり文字で置いて恒等式という流れで複雑な計算をしないといけないですが、これならすぐに式変形できるかなと

なるほど、その方が速いかもしれませんね。考え方としては、特殊解を見つけるという私が述べていることと同じことをしています。

私の考え方は、まず $a_{n+1}-3^{n+1}=2(a_n-3^n)$ で $3^n$ の方は容易にクリアできたので、あとは両辺を $5^{n+1}$ で割りました。

ちなみに、想定解の両辺を $5^{n+1}$ で割れば、私が変形した式になります。

隣接 $3$ 項間の漸化式 $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ を解くときの、$x^2=5x-6$ は特性方程式です。

これに当てはめると、漸化式 $a_{n+1}=2a_n-3$ の特性方程式は $x=2-3$ になってしまいますよね。これが私が特性方程式と呼ぶのを推奨しない理由です。

この方法しか持ち合わせてないです！やり方はあってますか？

その方法が身についているのであれば、わざわざ特性方程式を覚える必要はないと思います。

想定解としては、同次方程式 $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$ の形に持ち込めば、特性方程式 $x^2-5x+6=0$ を用いて解ける。

いま、非同次方程式 $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=4$ の特殊解、つまり何でもよいからこの漸化式を満たす数列を $1$ つ見つける。

このとき、定数数列が最も簡単である。それを $a_n=c$ とすると、$c-5c+6c=4$ より $c=2$ であり、これをと漸化式の辺々の差をとって $(a_{n+2}-2)-5(a_{n+1}-2)+6(a_n-2)=0$ とすれば同次方程式となる。

同次とは定数項が $0$ であるもののことを言います。非同次方程式の解は、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解の和です。これが理解できれば、整数の $1$ 次不定方程式も、大学で学ぶ微分方程式にも通用します。

なんだかすごく面白そうなことをありがとうございます。やっぱ数学はものすごい広いですね！楽しみです。