数学のガンマについて

$$\int \frac{x}{\sqrt{3 - x}} dx$$

の方は、$\sqrt{3 - x}$ が計算の障害なので、$x = 3 - t^2$ と置換します。

$$\int \frac{x}{\sqrt{3 - x}} dx = \int \frac{3 - t^2}{t} (3 - t^2)' dt = 2 \int (t^2 - 3)dt = 2\left(\frac{1}{3}t^3 - 3t\right)$$

あとは $t = \sqrt{3 - x}$ と置換し直して

$$\left[2(3 - x)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{3}(3 - x) - 3\right)\right]_0^3 = 4\sqrt{3}$$

を得ます。

$$\int_0^\infty e^{-x^4} x^{11} dx$$

の方は、$x^4$ の項が計算の障害なので、$x = t^{1/4}$ と置換します。

$$\int_0^\infty e^{-x^4} x^{11} dx = \int_0^\infty e^{-t} t^{\frac{11}{4}} \frac{1}{4}t^{-\frac{3}{4}} dt = \frac{1}{4} \int_0^\infty e^{-t} t^2 dt$$

ここで $\displaystyle{\int_0^\infty e^{-t} t^2 dt} = \Gamma(2 + 1)$ なので、

$$\frac{1}{4} \int_0^\infty e^{-t} t^2 dt = \frac{2!}{4} = \frac{1}{2}$$

を得ます。