黄色線の部分ですが、この確認をする必要がある時とない時の違いがわからないので、それを教えてほしいです。

複素数解になることがあったり、$2$ つの共通解があったりする可能性があるからです。

実際に $k=2$ の場合はただ $1$ つの共通な実数解をもたないことが増す確認できます。

また、今回は $2$ つの方程式①と②があって、それら $2$ つの式から $1$ つの式を作っていますね。その場合は同値変形ではないので逆を確認する必要があります。

同値変形かどうかは、その変形の前後を逆にたどれるかどうかということですが、これに関しては慣れるまで意識して問題演習を積むしかありません。頑張ってください。