• 解決済み

    @ttto

    2022/12/15 20:13

    1 回答

    数学の問題についてです。

    中心（３、３）の円が双曲線xy=1に2つの点で接する時、その接点のx座標を求めよ。

    解説おねがいします。

    答えは(3+√5)/2 (3-√5)/2 です。

    1. 高校生

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    @DoubleExpYui

    2022/12/16 16:26

    円を

    (x−3)2+(y−3)2=r2(x-3)^2+(y-3)^2=r^2

    とする。

    接点を(p,1p)(p,\dfrac{1}{p})とおくと、接線は

    (p−3)(x−3)+(1p−3)(y−3)=r2(1)\tag{1}(p-3)(x-3)+\left(\dfrac{1}{p}-3\right)(y-3)=r^2



    また、双曲線xy=1xy=1において点(p,1p)(p,\dfrac{1}{p})における接線は

    y−1p=−1p2(x−p)(2)\tag{2}y-\dfrac{1}{p}=-\dfrac{1}{p^2}(x-p)


    (1),(2)の傾きに注目して、

    p−31p−3=1p2\dfrac{p-3}{\dfrac{1}{p}-3}=\dfrac{1}{p^2}

    整理して

    p4−3p3+3p−1=0p^4-3p^3+3p-1=0

    左辺＝f(p)＝f(p)とおくとf(1)=0f(1)=0より

    (p−1)(p3−2p2+2p−1)=0(p-1)(p^3-2p^2+2p-1)=0

    左辺=(p−1)g(p)=(p-1)g(p)とおくとg(−1)=0g(-1)=0より

    (p−1)(p+1)(p2−3p+1)=0p=−1,1,3±52\begin{align*}(p-1)(p+1)(p^2-3p+1)&=0\\p&=-1,1,\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{align*}


    p=±1p=\pm1のとき、円と双曲線は交わるので不適。


    よって、求める接点のxx座標は3±52□\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\square



    補足

    ミス。

    「左辺＝f(p)＝f(p)とおくとf(1)=0f(1)=0より」の後の式は(p−1)(p3−2p2+2p+1)=0(p-1)(p^3-2p^2+2p+1)=0です。

    返信(4件)

    @ttto

    2022/12/17 14:32

    p=1のとき

    どうして双曲線と交わることがわかるんですか。

    @DoubleExpYui

    2022/12/17 14:53

    p=1p=1のとき円の式は

    (x−3)2+(y−3)2=16(x-3)^2+(y-3)^2=16

    である。

    よって円と双曲線の交点を求めれば

    (x−3)2+(1x−3)2=16(x2−6x+9)+(1x2−6x+9)=16(x2+1x2)−6(x+1x)+18=16\begin{align*}(x-3)^2+\left(\dfrac{1}{x}-3\right)^2&=16\\(x^2-6x+9)+\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{6}{x}+9\right)&=16\\\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+18&=16\end{align*}

    x+1x=Ax+\dfrac{1}{x}=Aとおけば

    A2−6A=0A=0,6\begin{align*}A^2-6A&=0\\A&=0,6\end{align*}


    A=0A=0のとき、x∈Cx\in\mathbb{C}より不適

    A=6A=6のとき、x=3±22x=3\pm2\sqrt{2}


    よって円と双曲線は2点で交わる。


    @ttto

    2022/12/17 17:01

    p=1の時にどうして円の式が

    前述のようになるんでしょうか。


    @DoubleExpYui

    2022/12/17 20:50

    失礼。計算ミスですね。正しくは

    (x−3)2+(y−3)2=8(x-3)^2+(y-3)^2=8

    です。

    同様に計算してA=2,4A=2,4からx=1,2±3x=1,2\pm\sqrt{3}

    となるので3点で交わります。


    もしくは、半径が222\sqrt{2}から点(3−22,3)(3-2\sqrt{2},3)を通りますが、これは双曲線上の点(13,3)\left(\dfrac{1}{3},3\right)よりもxx軸負の方向にあるので複数の点で交わることは容易にわかると思います。

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