円を
(x−3)2+(y−3)2=r2
とする。
接点を(p,p1)とおくと、接線は
(p−3)(x−3)+(p1−3)(y−3)=r2(1)
また、双曲線xy=1において点(p,p1)における接線は
y−p1=−p21(x−p)(2)
(1),(2)の傾きに注目して、
p1−3p−3=p21
整理して
p4−3p3+3p−1=0
左辺=f(p)とおくとf(1)=0より
(p−1)(p3−2p2+2p−1)=0
左辺=(p−1)g(p)とおくとg(−1)=0より
(p−1)(p+1)(p2−3p+1)p=0=−1,1,23±5
p=±1のとき、円と双曲線は交わるので不適。
よって、求める接点のx座標は23±5□
質問者からのお礼コメント
丁寧にありがとうございました!