回答締め切り

レプユニット数の件ですが、pが9の倍数でない=pと9が互いに素 この2つは同じで


 あることが理解できません。


詳しく説明を頂けるとありがたいです。

回答(1件)

前回の回答への追加の質問と合わせて解答します。


回答を見返しましたが、記述が間違ってましたね…。すみません。

「フェルマーの小定理から~である。」のあと、


ppが3の倍数でない=ppと9が互いに素


です。



追加の質問。なぜ2と5がNGなのか。


まず、合同式とは何か、ってところから説明します。

ある整数aaa=kn+ba=kn+bと表せるとき、

ab(mod n)a\equiv b(\bmod\ n)

とできます。nnで割ったときの余りってことです。


ここから考えてほしいのですが、レプユニット数11111111\cdots11と1が続く数なので2,52,5で割ったら余りは1です。よって合同式の右辺が0でなくなってしまいます。

そのため2,5はNGということです。


次に3が別枠の理由について。

前回の回答の「フェルマーの小定理より~である」の後の、合同式の性質を使った両辺9で割る、という操作が出来ません。そのため、別枠で考える必要があります。

そこで使うのが、「各位の和が3の倍数なら元の数も3の倍数」という性質です。つまり、3の倍数桁のレプユニット数は3の倍数ってことです。




補足

追加。「12もダメなのか」

素数でないので駄目です。

12の倍数なら偶数になりますので、レプユニット数ではありません。

返信(3件)

12を考えていることから「もしかして」なのですが、レプユニット数全体の性質だと思っていませんか?

この証明は


「素数p(p2,3,5)p(p\neq2,3,5)に対して、p1p-1桁のレプユニット数がppの倍数になる。」


という定理に対してのものです。


すいません、もう一度質問ですが、pが3の倍数でない=pと9が互いに素

は理解できます。そして2や5で割った時はあまりがでる→よってレプユニットの構成数にはならにのも理解ですます。私も理解力がなくて恐縮ですが、フェルマーの小定理では

   a が p の倍数でない正の整数のとき


    a^(p−1)≡1(modp)

ということなので、まず9で割る前にこの問題の場合はa=10なので

pが2や5だと 2×5=10になるからpが2や5ではいけないという意味では

ないですか?そこから2と5以外の任意の素数についてUが存在するという結論になりますか?

すいません、理解が悪くて申し訳ないです。

アドバイス頂きたく思います。

そうです。10と2または5は互いに素ではないのでフェルマーの小定理は成り立ちません。

そのため両辺から1を引いた合同式

ap110 (mod p)a^{p-1}-1\equiv0\ (\bmod \ p)

が成り立ちません。

「右辺が0でなくなってしまう」というのは


左辺:レプユニット数×9=99\times9=9\cdots9

右辺:1または4(mod2,5)\bmod2,5)


ということを言っています。





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