レプユニット数の件ですが、pが9の倍数でない＝pと9が互いに素この２つは同じであることが理解できません。詳しく説明

Question

レプユニット数の件ですが、pが9の倍数でない＝pと9が互いに素　この２つは同じで

　あることが理解できません。

詳しく説明を頂けるとありがたいです。

@DoubleExpYui · Accepted Answer

回答を見返しましたが、記述が間違ってましたね…。すみません。

「フェルマーの小定理から～である。」のあと、

$p$ が3の倍数でない＝ $p$ と9が互いに素

です。

追加の質問。なぜ2と5がNGなのか。

まず、合同式とは何か、ってところから説明します。

ある整数 $a$ が $a=kn+b$ と表せるとき、

$a\equiv b(\bmod\ n)$

とできます。 $n$ で割ったときの余りってことです。

ここから考えてほしいのですが、レプユニット数 $111\cdots11$ と1が続く数なので $2,5$ で割ったら余りは1です。よって合同式の右辺が0でなくなってしまいます。

そのため2,5はNGということです。

次に3が別枠の理由について。

前回の回答の「フェルマーの小定理より～である」の後の、合同式の性質を使った両辺9で割る、という操作が出来ません。そのため、別枠で考える必要があります。

そこで使うのが、「各位の和が3の倍数なら元の数も3の倍数」という性質です。つまり、3の倍数桁のレプユニット数は3の倍数ってことです。

補足

追加。「12もダメなのか」

素数でないので駄目です。

12の倍数なら偶数になりますので、レプユニット数ではありません。