いくつか試してみたのですが、あんまりうまくいきませんでした。
もしかしたら参考になるかと思い、途中までではありますが回答とさせていただきます。
S=n=0∑∞gnzn=g0z0+g1z1+⋯+gnzn+⋯
に対して、
gn+1=n+1Mj=0∑nRn−jgj
を使い、g1,g2,⋯を一つ下の添え字に下げると
S=∣b∣+RnMg0k=1∑∞k1zk+Rn−1Mg1k=2∑∞k1zk+⋯+Rn−tMgtk=t+1∑∞k1zk+⋯
と変形できる。
ここから諦めたのですが、初項1、公比zの無限等比級数
1−z1=1+z+z2+⋯+zn+⋯
の項別微分や、条件の∣An∣≤RnMなんかをうまいこと調整すれば、いけそうな気はしました。
お力になれずすみません。頑張ってください。