解決済み

解析学

1週間程度考えてもわからなかったので、解き方の方針でも大丈夫なので、わかる方教えていただきたいです。

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いくつか試してみたのですが、あんまりうまくいきませんでした。

もしかしたら参考になるかと思い、途中までではありますが回答とさせていただきます。


S=n=0gnzn=g0z0+g1z1++gnzn+S=\sum_{n=0}^\infty g_nz^n=g_0z^0+g_1z^1+\cdots+g_nz^n+\cdots

に対して、

gn+1=Mn+1j=0ngjRnjg_{n+1}=\dfrac{M}{n+1}\sum_{j=0}^{n}\dfrac{g_j}{R^{n-j}}

を使い、g1,g2,g_1,g_2,\cdotsを一つ下の添え字に下げると

S=b+MRng0k=11kzk+MRn1g1k=21kzk++MRntgtk=t+11kzk+S=|b|+\dfrac{M}{R^n}g_0\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}z^k+\dfrac{M}{R^{n-1}}g_1\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k}z^k+\cdots+\dfrac{M}{R^{n-t}}g_t\sum_{k=t+1}^{\infty}\dfrac{1}{k}z^k+\cdots


と変形できる。


ここから諦めたのですが、初項1、公比zzの無限等比級数

11z=1++z2++zn+\dfrac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots+z^n+\cdots

の項別微分や、条件のAnMRn|A_n|\leq\dfrac{M}{R^n}なんかをうまいこと調整すれば、いけそうな気はしました。


お力になれずすみません。頑張ってください。


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