はじめに、
f(z)=(1−z)k+11
とすると、f(z)は正則関数である。(正則判定はご自分でどうぞ。)
このとき、z=0の周りでテイラー展開すると
f(z)=z0+1!(k+1)z1+2!(k+1)(k+2)z2+⋯+n!(k+1)⋯(k+n)zn+⋯(1)
ダランベールの公式より、収束半径Rは
R=n→∞lim∣∣(n+1)!(k+1)⋯(k+n)(k+n+1)n!(k+1)⋯(k+n)∣∣
これを計算するとR=1より、f(z)は開円板(0;1)で収束することが確かめられる。
また、与式右辺においてi−k=mとすれば、
i=k∑∞(i,k)zi−k=m=0∑∞(k+m,m)zm
とできる。このとき第n項anは
an=n!(k+1)⋯(k+n)zn
と書けるので、これは式(1)の第n項と一致する。
よって
(1−z)k+11=i=k∑∞(i,k)zi−k
が成り立つ。□
書き損じ等あったらすみません。流れとしてはこんな感じかと。
質問者からのお礼コメント
とてもよく理解できました