(1-z)^(-k-1)=Σ（n=k→∞）（n,k)z^(n-k)

はじめに、

$$f(z)=\frac{1}{(1-z)^{k+1}}$$

とすると、$f(z)$は正則関数である。(正則判定はご自分でどうぞ。)

このとき、$z=0$の周りでテイラー展開すると

$$\tag{1}f(z)=z^0+\frac{(k+1)}{1!}z^1+\frac{(k+1)(k+2)}{2!}z^2+\cdots+\frac{(k+1)\cdots(k+n)}{n!}z^n+\cdots$$

ダランベールの公式より、収束半径$R$は

$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(k+1)\cdots(k+n)}{n!}}{\frac{(k+1)\cdots(k+n)(k+n+1)}{(n+1)!}}\right|$$

これを計算すると$R=1$より、$f(z)$は開円板$(0;1)$で収束することが確かめられる。

また、与式右辺において$i-k=m$とすれば、

$$\sum_{i=k}^\infty(i,k)z^{i-k}=\sum_{m=0}^\infty(k+m,m)z^{m}$$

とできる。このとき第$n$項$a_n$は

$$a_n=\frac{(k+1)\cdots(k+n)}{n!}z^n$$

と書けるので、これは式(1)の第$n$項と一致する。

よって

$$\frac{1}{(1-z)^{k+1}}=\sum_{i=k}^\infty(i,k)z^{i-k}$$

が成り立つ。$\square$

書き損じ等あったらすみません。流れとしてはこんな感じかと。