オイラーの微分方程式　$t^2 \dfrac{d^2 x}{d t^2} +at \dfrac{dx}{dt} +bx = R(t)$　を定数係数の線形微分方程式にするまでの過程を教えてほしいです。

$e^s=t$ とおくと、$\dfrac{ds}{dt}=e^{-s}$ なので、

$$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dx}{ds} \dfrac{ds}{dt} = e^{-s} \dfrac{dx}{ds}$$

$$\begin{aligned}\dfrac{d^2x}{dt^2} &= \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dx}{dt}\right) = \dfrac{d}{ds} \left(e^{-s}\dfrac{dx}{ds}\right) \dfrac{ds}{dt} \\&= e^{-2s} \left(\dfrac{d^2x}{ds^2}-\dfrac{dx}{ds}\right) \\\end{aligned}$$

となります。これらを微分方程式に代入すると、

$$\dfrac{d^2x}{ds^2} + (a-1)\dfrac{dx}{ds} + bx = R(t)$$

となって、定数係数の微分方程式に帰着できます。