この問題の解き方を教えてくれませんか?

(1)

$$y' = \dfrac{5x+2y}{4x}$$

$y = xu$ の両辺を $x$ で微分して

$$y' = \dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$$

これを代入して

$$u + x \dfrac{du}{dx} = \dfrac{5x+2xu}{4x} = \dfrac{5+2u}{4}$$

これを整理して

$$\dfrac{1}{2u-5} \dfrac{du}{dx} = - \dfrac{1}{4x}$$

変数分離をして

$$\dfrac{1}{2u-5} du = - \dfrac{1}{4x} dx$$

両辺を積分して

$$\int \dfrac{1}{2u-5} du = - \int \dfrac{1}{4x} dx$$

計算して

$$\dfrac{1}{2} \log |2u - 5| = - \dfrac{1}{4} \log |x| + C_1 \\2u - 5 = \dfrac{C_2}{\sqrt x}$$

ここで $u = \dfrac{y}{x}$ を代入して $y$ について計算すると

$$y = \dfrac{5}{2}x + C \sqrt{x}$$

(2)

同様に

$$y' = \dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$$

を代入して整理すると

$$\dfrac{u+3}{(u-1)(u+1)} \dfrac{du}{dx} = - \dfrac{1}{x}$$

ここで左辺を部分分数分解すると

$$\dfrac{u+3}{(u-1)(u+1)} = \dfrac{2}{u-1} - \dfrac{1}{u+1}$$

であるから、これを用いて計算すると

$$\int \left\{ \dfrac{2}{u-1} - \dfrac{1}{u+1} \right\} du = - \int \dfrac{1}{x} dx \\2 \log |u-1| - \log |u+1| = - \log x + C_1$$

計算を進めると

$$(y-x)^2 = C(y+x)$$

です。