久しぶりの積分なんですが $$S=\int_0^\pi \left(1+\sqrt[3]{\cos x}\right)

Question

久しぶりの積分なんですが $$S=\int_0^\pi \left(1+\sqrt[3]{\cos x}\right) dx$$ $$T=\int_0^1 \dfrac{\log \left(1+x\right)}{1+x^2} dx$$を求められる方はいらっしゃいますか？

@manimani1 · Accepted Answer

$T$ は無理なので $S$ の方なら...

$u=\pi -x$ と置換して少し計算すると、

$S=\int_{0}^{\pi}1+\sqrt[3]{\cos(\pi-u)}\ du$

$\cos(\pi-u)=-\cos u$ なので、

$\int_{0}^{\pi}1+\sqrt[3]{\cos(\pi-u)}\ du=\int_{0}^{\pi}1+\sqrt[3]{-\cos u}\ du=\int_{0}^{\pi}1-\sqrt[3]{\cos u}\ du$

$=\int_{0}^{\pi}1-\sqrt[3]{\cos x}\ dx$

$S$ を二通りで表せたので足してみると、

$2S=\int_{0}^{\pi}1+\sqrt[3]{\cos x}\ dx+\int_{0}^{\pi}1-\sqrt[3]{\cos x}\ dx$

$=\int_{0}^{\pi}2\ dx=2\pi$

よって $S=\pi$ となります

補足

$T$ の方は

$-\dfrac{i\ Li_2(\frac{i+1}{2})-i\ Li_2(-\frac{i-1}{2})}{2}+\dfrac{i\ Li_2(i)}{2}-\dfrac{i\ Li_2(-i)}{2}+\dfrac{\pi\log2}{4}$

になるらしいです

少なくとも初等関数ではないですね...