前にあげた問題に間違えがあったので訂正版です。

$(1)q=p$のとき

${}_p \mathrm{C}_p =1$

$1=p^2$

$(p,q)=(1,1)$✕

$(2)q=p-1$のとき

${}_p \mathrm{C}_{p-1} =p$

$p=p(p-1)$

$(p,q)=(2,1)$✕

$(3)q=p-2$のとき

${}_p \mathrm{C}_{p-2} =\dfrac{p(p-1)}{2}$

$\dfrac{p(p-1)}{2}=p(p-2)$

$(p,q)=(3,1)$✕

$(4)q=p-3$のとき

${}_p \mathrm{C}_{p-3} =\dfrac{p(p-1)(p-2)}{6}$

$\dfrac{p(p-1)(p-2)}{6}=p(p-3)$

$(p,q)=(4,1)✕,(5,2)○$

$(5)q=p-k(4 \leqq k \leqq p-2)$のとき

${}_p \mathrm{C}_{p-k} =\dfrac{p(p-1)(p-2) \cdots (p-k+1)}{k!}$

$\dfrac{p(p-1)(p-2) \cdots (p-k+1)}{k!}=p(p-k)$

$\dfrac{(p-1)(p-2) \cdots (p-k+1)}{k!}=(p-k)$

$p=k+1$でこの式が成り立ち、$(p,q)=(k+1,1)$✕

$p=k+2$のとき、

$(右辺)=\dfrac{k+1}{2},(左辺)=2$

$k \geqq 4$より、$(左辺) \geqq (右辺)$

$f(p)=\dfrac{(p-1)(p-2) \cdots (p-k+1)}{k!}$とすると、

$f(k+2)=\dfrac{k+1}{2}$

$f'(k+2)=\dfrac{k+1}{2}(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k+1})>1$

$f(p)はp=1,2,3,\cdots,k-1$を根に持つ多項式であるため、$p \geqq k+2$において、常に$f'(p)>1$。

よって、$p \geqq k+2$において、$f(p)=p-k$は解をもたず、$\dfrac{p(p-1)(p-2) \cdots (p-k+1)}{k!}=p(p-k)$を満たす$p$は存在しない。

以上$(1)$～$(5)$より、$(p,q)=(5,2)$のみである。

やってるうちに、自分でも正しい議論ができているか分からなくなっちゃいました。ところどころ計算を省略しています。