(1)q=pのとき
pCp=1
1=p2
(p,q)=(1,1)✕
(2)q=p−1のとき
pCp−1=p
p=p(p−1)
(p,q)=(2,1)✕
(3)q=p−2のとき
pCp−2=2p(p−1)
2p(p−1)=p(p−2)
(p,q)=(3,1)✕
(4)q=p−3のとき
pCp−3=6p(p−1)(p−2)
6p(p−1)(p−2)=p(p−3)
(p,q)=(4,1)✕,(5,2)○
(5)q=p−k(4≦k≦p−2)のとき
pCp−k=k!p(p−1)(p−2)⋯(p−k+1)
k!p(p−1)(p−2)⋯(p−k+1)=p(p−k)
k!(p−1)(p−2)⋯(p−k+1)=(p−k)
p=k+1でこの式が成り立ち、(p,q)=(k+1,1)✕
p=k+2のとき、
(右辺)=2k+1,(左辺)=2
k≧4より、(左辺)≧(右辺)
f(p)=k!(p−1)(p−2)⋯(p−k+1)とすると、
f(k+2)=2k+1
f′(k+2)=2k+1(31+41+⋯+k+11)>1
f(p)はp=1,2,3,⋯,k−1を根に持つ多項式であるため、p≧k+2において、常にf′(p)>1。
よって、p≧k+2において、f(p)=p−kは解をもたず、k!p(p−1)(p−2)⋯(p−k+1)=p(p−k)を満たすpは存在しない。
以上(1)~(5)より、(p,q)=(5,2)のみである。
やってるうちに、自分でも正しい議論ができているか分からなくなっちゃいました。ところどころ計算を省略しています。