なんかこんがらがっちゃいました................

どちらもほぼ同じ答えになりますが、一応それぞれ解いてゆきます。

$$\int \dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} dx　について、\dfrac{1-x}{1+x}=u　と置換し　dx=\dfrac{(1+x)^2}{2} du$$

$$また、\dfrac{1-u}{1+u}=x　であることから、超変換で$$

$$(与式)=\int \dfrac{2\sqrt{u}}{(u-1)(u+1)}du=\int \left(-\dfrac{\sqrt{u}}{u+1}+\dfrac{\sqrt{u}}{u-1}\right) du$$

$$\sqrt{u}=t　とおき、du=2t dt$$

$$=2\int \left(-\dfrac{t^2}{t^2+1}+\dfrac{t^2}{t^2-1}\right) dt=2\int\left( \dfrac{1}{t^2-1}+\dfrac{1}{t^2+1} \right) dt$$

$$=2\tan^{-1} t+\int \left( \dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1} \right) dt=2\tan^{-1} t +\log\Bigl| \dfrac{t-1}{t+1} \Bigr|+C$$

また、$\tanh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$から計算して、$\tanh^{-1} x=\dfrac{1}{2}\log\Bigl| \dfrac{1+x}{1-x} \Bigr|$であることから、置換を解除して

$$(与式)=2\tan^{-1}\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}-2\tanh^{-1} \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+C$$

次に後者の方を、

$$\int \dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} dx　について、\dfrac{1+x}{1-x}=u　と置換し　dx=\dfrac{(1-x)^2}{2} du$$

よって、

$$=-\int \dfrac{2\sqrt{u}}{(u-1)(u+1)}du$$

ほとんど同じです。過程を吹っ飛ばせるので

$$(与式)=-2\tan^{-1}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+2\tanh^{-1} \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+C$$

こんな感じで自分は求まりました。不備かなんかがあれば教えてください！