整数論というのか正直わからない問題です(多分関数かな)

４つの解をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とおいて、

$$\alpha\beta=80\quad\cdots \ (1)$$

とすると、解と係数の関係より、

$$\alpha+\beta+\gamma+\delta=-1$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta+\alpha\gamma+\beta\delta+\alpha\delta=k$$

$$\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-8$$

$$\alpha\beta\gamma\delta=6720$$

2,3,4つ目の式に $(1)$ を代入すると、

$$80+\beta\gamma+\gamma\delta+\alpha\gamma+\beta\delta+\alpha\delta=k$$

$$80\gamma+80\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-8$$

$$80\gamma\delta=6720\ \Leftrightarrow\ \gamma\delta=84\ \cdots (2)$$

さらに $(2)$ を代入して

$$80+\beta\gamma+84+\alpha\gamma+\beta\delta+\alpha\delta=k\ \Leftrightarrow\ 164+(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)=k\ \cdots *$$

$$80(\gamma+\delta)+84(\alpha+\beta)=-8\ \cdots(3)$$

$(3)$ から一番最初に出てきた $\alpha+\beta+\gamma+\delta=-1$ の80倍を引いてあげると、

$$4(\alpha+\beta)=72\ \Leftrightarrow\alpha+\beta=18$$

さらにこれを $(3)$ に代入して、

$$80(\gamma+\delta)+1512=-8\ \Leftrightarrow\gamma+\delta=-19$$

最後に、出てきた $\alpha+\beta\ ,\ \gamma+\delta$ を $*$ に代入すれば

$$164+(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)=164+18\times(-19)=-178$$

なので、 $k=-178$ が答えです