整数論というのか正直わからない問題です(多分関数かな) $4$次方程式の問題です。方程式$$x^4+x^3+kx^2+

Question

整数論というのか正直わからない問題です(多分関数かな) $4$次方程式の問題です。 方程式$$x^4+x^3+kx^2+8x+6720=0$$に関して、$4$この解のうち、$2$個の解についての積を求めたら$80$になった。この時、$k$の値を求められる方はいらっしゃいますか？

@manimani1 · Accepted Answer

４つの解をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とおいて、

$\alpha\beta=80\quad\cdots \ (1)$

とすると、解と係数の関係より、

$\alpha+\beta+\gamma+\delta=-1$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta+\alpha\gamma+\beta\delta+\alpha\delta=k$

$\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-8$

$\alpha\beta\gamma\delta=6720$

2,3,4つ目の式に $(1)$ を代入すると、

$80+\beta\gamma+\gamma\delta+\alpha\gamma+\beta\delta+\alpha\delta=k$

$80\gamma+80\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-8$

$80\gamma\delta=6720\ \Leftrightarrow\ \gamma\delta=84\ \cdots (2)$

さらに $(2)$ を代入して

$80+\beta\gamma+84+\alpha\gamma+\beta\delta+\alpha\delta=k\ \Leftrightarrow\ 164+(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)=k\ \cdots *$

$80(\gamma+\delta)+84(\alpha+\beta)=-8\ \cdots(3)$

$(3)$ から一番最初に出てきた $\alpha+\beta+\gamma+\delta=-1$ の80倍を引いてあげると、

$4(\alpha+\beta)=72\ \Leftrightarrow\alpha+\beta=18$

さらにこれを $(3)$ に代入して、

$80(\gamma+\delta)+1512=-8\ \Leftrightarrow\gamma+\delta=-19$

最後に、出てきた $\alpha+\beta\ ,\ \gamma+\delta$ を $*$ に代入すれば

$164+(\alpha+\beta)(\gamma+\delta)=164+18\times(-19)=-178$

なので、 $k=-178$ が答えです

補足

どこかで見たことあると思えば数検の過去問ですね;;

amateurmath.web.fc2.com に1次試験の過去問がたくさんあるので見てみると良いと思います。