なんか発見した式なんですけど、

こんなんでいい感じですか？

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{\prod_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k}$$

$$=\lim_{n \to \infty} \left( \left(n!\right)^{n+1} \left(\prod_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\right)^2\right)^{\frac{1}{n^2}}$$

$$=\lim_{n \to \infty} \left( \left(n!\right)^{n+1} \prod_{k=0}^{n} \prod_{j=1}^{k} \dfrac{1}{j^2}\right)$$

$$=\lim_{n \to \infty} \left(\prod_{j=1}^{n} j^{n+1} \cdot \prod_{j=1}^{n} \dfrac{1}{\left(j^2\right)^{n+1-j}} \right)^{\frac{1}{n^2}}$$

$$=\lim_{n \to \infty} \left(\prod_{j=1}^{n} j^{2j-n-1}\right)^{\frac{1}{n^2}}$$

$$=\lim_{n \to \infty} \exp{\left(\dfrac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n}\left(2j-n-1\right)\log j\right)}$$

ここで、$\left(\sum_{j=1}^{n}\left(2j-n-1\right)=0\right)$より、

$$=\lim_{n \to \infty} \exp {\left(\dfrac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n}\left(2j-n-1\right)\left(\log j-\log n\right)\right)}$$

$$=\lim_{n \to \infty} \exp {\left(\dfrac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\dfrac{2j}{n}-1-\dfrac{1}{n}\right)\log \dfrac{j}{n}\right)}$$

$$=\exp \int_0^1 \left(2x-1\right)\log x dx$$

$$=e^\frac{1}{2}$$

$$=\sqrt e$$

僕は二重積がえぐかったです。