積分です

これはこれは因数分解ができるかが勝負の分かれ目ってところですね。コードの消失した$\tan$ 野郎の時にも出てきたので解けます。

$$(与式)=\int \dfrac{1}{(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)} dx$$

もう恒例ですね、部分分数分解

$$=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int \left(\dfrac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}-\dfrac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right)dx$$

これからは、

$$\int \dfrac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} dx　について$$

$$=\int \dfrac{x-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} dx=\dfrac{1}{2}\log (x^2-\sqrt{2}x+1)+\frac{\sqrt{2}}{2}\int \dfrac{1}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}dx$$

割愛しまくって、$(\tan は作業なので大丈夫ですよね)$

$$=\dfrac{1}{2}\log (x^2-\sqrt{2}x+1)+\tan ^{-1} (-\sqrt{2}x+1)+C$$

$$また\int \dfrac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} dx　について$$

符号が少し違うだけでやることはまるで同じなので　省きます

$$\int \dfrac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} dx=\dfrac{1}{2}\log (x^2+\sqrt{2}x+1)+\tan ^{-1} (\sqrt{2}x+1)+C$$

ゆえに、

$$(与式)=\dfrac{1}{2}\log \left |\dfrac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right |+\tan ^{-1} (\sqrt{2}x+1)+\tan ^{-1} (-\sqrt{2}x+1)+C$$

$$∴\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{2}\log \left |\dfrac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right |+\tan ^{-1} \frac{1}{x^2}\right)+C$$

どこか誤謬があれば教えてください