$$P=\int \dfrac{x^4+x^2-1}{x^3+1} dx$$を求められる方はいらっしゃいますか？

一番最初にやるのがやっぱり割り算ですよね

$$P=\int \left( x+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x^3+1} \right) dx$$

ここで厄介なのが一番右の項です。これからはこれについての記述をしていきます

$$2\int \dfrac{1}{x^3+1} dx=\dfrac{2}{3}\int\left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x-2}{x^2-x+1} \right) dx$$

1ここらの変形は恒等式やなんやらで済ませました(割愛)。話を一回$P$に戻し

$$P=\int \left(x+\dfrac{1}{3(x+1)}+\dfrac{2}{3} \dfrac {x-2}{x^2-x+1} \right) dx$$

今度も一番右を処理します

$$\int　\dfrac{x-2}{x^2-x+1} dx$$

個人的にこのタイプの積分をタンログ($tan \log)$と呼んでいます。なんでかはたぶんわかるかと思います(笑)

$$=\int \dfrac{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2}{x^2-x+1} dx$$

$$=\dfrac{1}{2}\log (x^2-x+1)-\dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{x^2-x+1}dx$$

ここで

$$\int \dfrac{1}{x^2-x+1}dx =\int \dfrac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx =\dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left( \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)$$

ここはいつもやってるので省きますー

従って！

$$∴P=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}\log |x^3+1|+-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left( \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)+C$$

たぶんこれで合ているんじゃないでしょうか