解決済み

P=x4+x21x3+1dxP=\int \dfrac{x^4+x^2-1}{x^3+1} dxを求められる方はいらっしゃいますか?

一度に大量の問題を書いてしまうとおそらく回答者さんが大変だと思うので、単発(多くても2問)くらいに絞っていきたいと思います

ベストアンサー

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一番最初にやるのがやっぱり割り算ですよね

P=(x+1x+12x3+1)dxP=\int \left( x+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x^3+1} \right) dx

ここで厄介なのが一番右の項です。これからはこれについての記述をしていきます


21x3+1dx=23(1x+1x2x2x+1)dx2\int \dfrac{1}{x^3+1} dx=\dfrac{2}{3}\int\left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x-2}{x^2-x+1} \right) dx

1ここらの変形は恒等式やなんやらで済ませました(割愛)。話を一回PPに戻し

P=(x+13(x+1)+23x2x2x+1)dxP=\int \left(x+\dfrac{1}{3(x+1)}+\dfrac{2}{3} \dfrac {x-2}{x^2-x+1} \right) dx

今度も一番右を処理します



 x2x2x+1dx\int \dfrac{x-2}{x^2-x+1} dx

個人的にこのタイプの積分をタンログ(tanlog)tan \log)と呼んでいます。なんでかはたぶんわかるかと思います(笑)


=x12+122x2x+1dx=\int \dfrac{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2}{x^2-x+1} dx

=12log(x2x+1)321x2x+1dx=\dfrac{1}{2}\log (x^2-x+1)-\dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{x^2-x+1}dx

ここで

1x2x+1dx=1(x12)2+34dx=23tan1(2x13)\int \dfrac{1}{x^2-x+1}dx =\int \dfrac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx =\dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left( \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)

ここはいつもやってるので省きますー


従って!

P=12x2+13logx3+1+23tan1(2x13)+C∴P=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}\log |x^3+1|+-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \left( \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)+C


たぶんこれで合ているんじゃないでしょうか

返信(2件)

ありがとうございます

いつもそうですがとても分かりやすくて理解しやすくて感謝しかないです

いえいえ、自分のモットーでもあるのでそれを貫いたまでです

問題の提供もとても楽しませてもらってます(笑)。何かわからないことがあればお答えしますよ

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