$\mathbf {線形微分方程式}$の問題なんですけど

$$\dfrac{dy}{dx}+2y=4x　⇒　\int dy+2\int y dx=4\int x dx$$

よって、

$$\int y dx=x^2-\dfrac{y}{2}+C$$

こうなったので、$y=ae^{bx}+cx+d$と考えられます。代入、

$$\int (ae^{bx}+cx+d) dx=x^2-\dfrac{ae^{bx}+cx+d}{2}+C$$

ここは$x$についての恒等式とみて定数を確定させ、結果として

$$b=2　　c=2　　d=-1　　が分かります$$

$$∴y=c_1 e^{-2x}+2x-1$$

こんな感じですかね…