start to doとstart doingって意味が違いますか？

「～し始める」でほとんど意味は同じです。

例）She started to learn / learning the piano last year.「彼女は昨年ピアノを習い始めた。」

微妙な違いを言うと

start to doは動作の始まりに重点を置いています。

一方でstart doingは動作の継続に重点を置いており、上記の例文の場合、彼女がしばらくピアノを習い続けていたというニュアンスを含めています。