数学Ⅲ微分法の最初です。
「 f (x) = | x-1 | は x=1 で微分可能でないことを証明せよ 」
という問題では微分可能だけを調べているのですが、
「 x < 1 のとき f (x) = x² , x ≧ 1 のとき f (x) = 2x-1 で表される次の関数は x=1 で微分可能であることを証明せよ」
という問題では 、 x=1 で連続であることを証明したあとに、微分可能であることを証明していました。
この違いは何でしょうか。教えてください。
ベストアンサー
一般に、
「関数f(x)がある区間で微分可能ならば、その区間でf(x)は連続」
という定理が成り立ちます。
この定理の対偶を取ると、
「関数f(x)がある区間で連続でないならば、その区間で微分可能でない」
も成り立ちます。
この問題では、での微分可能性を示せとあるので、で連続でなければそもそもこの問題の前提が覆ります。また、で連続でも、で微分可能とは限りません。1つ目の問題がその例です。
なので、2つ目の問題ででの連続性を確認する理由は特に無いと思います。