解決済み

数学Ⅲ微分法の最初です。


「 f (x) = | x-1 | は x=1 で微分可能でないことを証明せよ 」


という問題では微分可能だけを調べているのですが、


「 x < 1 のとき f (x) = x² , x ≧ 1 のとき f (x) = 2x-1  で表される次の関数は x=1 で微分可能であることを証明せよ」 


という問題では 、 x=1 で連続であることを証明したあとに、微分可能であることを証明していました。


この違いは何でしょうか。教えてください。



ベストアンサー

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一般に、

「関数f(x)がある区間で微分可能ならば、その区間でf(x)は連続」

という定理が成り立ちます。

この定理の対偶を取ると、

「関数f(x)がある区間で連続でないならば、その区間で微分可能でない」

も成り立ちます。

この問題では、x=1x=1での微分可能性を示せとあるので、x=1x=1で連続でなければそもそもこの問題の前提が覆ります。また、x=1x=1で連続でも、x=1x=1で微分可能とは限りません。1つ目の問題がその例です。

なので、2つ目の問題でx=1x=1での連続性を確認する理由は特に無いと思います。

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