イプシロンデルタ論法の定義についてですが、写真の青線部がわからないです。

$$\lim_{x\to a}f(x)=P$$とは、実数 $x$ が限りなく $a$ に近づいたときに、$f(x)$ が限りなく $P$ に近づくという意味です。

実数 $x$ は $a$ に近づくだけで $a$ とはなっていないので、$0<|x-a|<\delta$ で合っています。

また、$f(x)$ については、$x$ が $a$ の十分近くにおいても $f(x)=P$ となりえますから、$|f(x)-P|<\varepsilon$ で合っています。

1.

$|x-a|=0$ となる点は同点のみなので、異なる2点を考えていることを明示するために $0\lt|x-a|\lt\delta$ としている。

2.

$|f(x)-P|=0$ となる点は関数によっては存在するため $0\leqq|f(x)-P|\lt\epsilon$ だが、絶対値の性質から当然 $0$ 以上であるから省略している。

かと思います。