タテ✖️ヨコをするとどうしてちょうほうけいのめんせきになるんですか？

積分の際にもΔxにf(x)をかけて長方形の面積をだしていると思うのですがそれとは別に積分の定義があるのですか？

あぁ、そういえばそうですね…。

図形を定義する関数を積分したものを面積と定義しているんですが、どっちが先なんでしょうね。

関数$f(x)$の$[a,b]$における積分は原始関数$F(x)$を用いて

$$\int_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)$$

と表せるので、定数関数の積分から長方形の面積、そこから一般の関数の積分、の順でしょうか。

平面図形の一般的な面積の定義は長方形の面積による近似(積分によって求められる値)ですが、長方形の面積は先に定義します。

その長方形の面積の定義も一辺の長さが1の正方形を面積1として

この正方形が敷き詰められる個数で定義しています。

この正方形が(縦に並ぶ個数)が縦のながさ、(横に並ぶ個数)が横の長さなので

面積は縦×横になります。

長方形の辺の長さが小数や分数の場合はそもそも小数や分数の積の定義について考えるとわかると思います。

そもそもの質問者様の質問に答えると、単位面積をあらわしている一辺の長さ正方形(定義)の個数からわかる定理(公式)ではないでしょうか。