点電荷の重要性質｜クーロン力とポテンシャル

点電荷とは，簡単にいうと電荷 $q$ を持った質点です。ここでの電荷の大きさ $q$ は，電気素量 $$e\simeq 1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$$ の整数倍であることが知られています。
基本的には，以下の記事で紹介されているような一般的な性質に従います。
電荷と電気量保存の法則

点電荷は電磁気学において最も基本的な対象なので，あいまいさなくしっかりと性質を抑えておく必要があります。

(発展)点電荷の数学的な表示

点電荷の作る電場も電磁気学の基本方程式である，Maxwell方程式にしたがいます。それを計算するには，「点電荷とはなんなのか」ということを数学的に表す必要があります。点電荷とはすなわち，「ある一点で電荷が $q$ であり，その他の場所では0という電荷分布を与えるもの」ということになります。

このようなことを考えると，位置 $\boldsymbol r$ にある点電荷 $q(\boldsymbol r)$ の電荷分布 $\rho(\boldsymbol r)$ は以下で与えられます。

ここで $\delta^3(\boldsymbol r-\boldsymbol r')$ という見慣れない記号が出てきましたが，これは

を3次元に拡張したものです。(なので形式的に3乗の記号を書いています。)

デルタ関数についてもっと知りたい方は，以下の記事をご覧ください。
ディラックのデルタ関数
デルタ関数でポアソン方程式の特殊解・境界条件下の解の一意性を導出

以下では点電荷のつくる電場の公式を導出していきます。導出には，Maxwell方程式の一つである，Gaussの法則を用います。

ここで $\varepsilon_0$ は真空の誘電率です。

Gaussの法則の意味を簡単に解説します。

右辺は，ある空間を適当な閉曲面で囲んだとき，その中にある全電荷の大きさの総和を取ることを表します。

左辺は，その閉曲面の表面を貫く全電場を表します。

この2つが等しくなる，というのがGaussの法則です。
以上を踏まえて，点電荷にGaussの法則を適用してみます。

閉曲面として，点電荷を中心とする，半径 $r$ の球をとってみます。すると，Gaussの法則の右辺は，閉曲面の中には電荷 $q$ のみがあることから， $$\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho dV=\dfrac{q}{\varepsilon_0}$$ となります。

左辺は，電場は球を一様等方に貫いていることから， $$\int_S\boldsymbol E\cdot \boldsymbol n dS=E\cdot4\pi r^2$$ となります。 $$E\cdot4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}$$ となるので，

がわかりました。

この表式より，電荷 $Q$ の点電荷が，距離 $r$ だけ離れた電荷 $q$ を持つ点電荷から受けるクーロン力の大きさは $$F=qE(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Qq}{r^2}$$ であることがわかります。

ちなみに導出でGaussの法則を用いましたが，これはMaxwell方程式という古典電磁気学の基本方程式の中の一つです。Maxwell方程式については，以下の記事で詳しく解説されています。
マクスウェル方程式

クーロン力がもとまったので，エネルギー積分を行うことで，点電荷のつくるポテンシャル(位置エネルギー)を求めることができます。
導出は以下の記事で詳しく解説されています。
電位の定義｜エネルギーとしての解釈・具体例

電位とは，単位電荷あたりの位置エネルギーなので，これに電荷の大きさ $Q$ をかけることで，位置エネルギーが表せます。

では，この電位をグラフに書いてみましょう。 点電荷の符号が正の時は，上のようなグラフになります。 $r\to0$ とすると，無限大に発散し，$r\to\pm\infty$ で0に収束します。

一方，点電荷の符号が負の時は，以下のようなグラフになります。