シュレディンガー方程式の導出過程とその意味 -その3-

次に, ポテンシャルエネルギーエネルギー $V(x)$ （位置エネルギー）を考慮してシュレディンガー方程式を考えてみます。

前回までは自由粒子を考えていたため, 条件3 : $E = \dfrac{p^2}{2m}$ と考えていましたが, ポテンシャルエネルギー $V(x)$ を考慮すると, 条件3はエネルギー保存則より,

$$E = \dfrac{p^2}{2m} + V(x)$$

となります。導出過程にあるように一次元自由粒子のシュレディンガー方程式の右辺 $- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2{}} {\partial^2{x}}$ は, $\dfrac{p^2}{2m}$ の運動エネルギー部分に対応しています。

そのため, この運動エネルギーの項にポテンシャルエネルギー $V(x)$ を線形結合すると,

となります。これがポテンシャルエネルギーを考慮した一次元シュレディンガー方程式となります。

シュレディンガー方程式の3次元への拡張

今まで一次元で考えていたシュレディンガー方程式を3次元に拡張します。

位置ベクトル $\boldsymbol{r} = (x, y, z)$ を用いると

$\nabla^2$ は, ラプラシアンで, シュレディンガー方程式の導出過程 -その1-の中で詳しく説明しています。

さて, これで3次元にシュレディンガー方程式の導出が完了です。

ここで再び, シュレディンガー方程式が意味することについて考えてます。

シュレディンガー方程式を展開すると以下のようになり,

$$i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi(\boldsymbol{r},t) =- \dfrac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi(\boldsymbol{r},t)+ V(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r},t)$$

各項は以下のことを示しています。

• 左辺：全エネルギー(一定)
• 右辺第一項：運動エネルギー
• 右辺第二項：ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)

古典力学から量子力学への発展に伴う量子化

次に, 量子化（演算子化）について考えていきます。

1次元自由粒子のシュレディンガー方程式について考えます。

$$i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2{}}{\partial^2{x}}\psi(x,t)$$

左辺は全エネルギー$E$, 右辺は運動エネルギー $\dfrac{p_x^2}{2m}$ を表しています。

$E$ と $p_x$ に対応している部分を抜き出すと,

$$E \rightarrow i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$$

$$p_x \rightarrow \hat{p_x} = -i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$$

となります。

$\hat{p_y}=-i \hbar \dfrac{\partial}{\partial y}$ と $\hat{p_z} =-i \hbar \dfrac{\partial}{\partial z}$ も同様に表せます。$\hat{p_x}, \hat{p_y}, \hat{p_z}$ を運動量演算子といいます。

文字 $a$ の上にハット記号をのせた $\hat{a}$ のような文字を演算子といいます。

以下に量子力学でよく用いられる演算子を記述します。

古典力学の物理量を, 量子力学の物理量(演算子)に書き直す操作を量子化といいます。

演算子の意味は？

演算子の役割はある状態 $\psi(x,t)$ に作用させると, ある物理量が算出される（はきだされる）というものです。

例えば $\psi(x,t) = e^{ipx/\hbar}$ に運動量演算子 $\hat{p_x}$ を作用させると, 定数として運動量 $p_x$ が算出されます。

$$\hat{p_x} e^{ipx/\hbar} = -i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x} e^{ipx/\hbar} = p_x e^{ipx/\hbar}$$

固有関数・固有関数・固有方程式

上記のようにある状態（ある関数）に演算子を作用させたものが, その関数の定数倍となる方程式を固有方程式といいます。

このときの関数を固有関数, 算出された定数を固有値と呼びます。

上記の式において, 固有関数は $e^{ipx/\hbar}$, 固有値は $p_x$ に対応しています。固有関数と固有値を求める問題を固有値問題といいます。

全エネルギーを示すハミルトニアン $\hat{H}$

アイルランドの物理学者ハミルトン(1805-1865)は, エネルギーを $\boldsymbol {r}, \boldsymbol {p}$ の関数とみて, それをハミルトニアンと名付けました。

$$H(p, r) = \dfrac{1}{2m} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) + V(x, y, z)$$

ハミルトニアン $H(p, r)$ は系全体のエネルギーを表しています。ここでエネルギー $E$ とハミルトニアン $H(p, r)$ の違いがわからないという方が多いため, 解説します。

• エネルギー $E$ : 一定の定数のため, 保存されます。

• ハミルトニアン $H(p, r)$ は $\boldsymbol {r}, \boldsymbol {p}$ の関数のため, 位置 $\boldsymbol {r}$ や運動量 $\boldsymbol {p}$ で変わることがあります。

ハミルトニアンが一定のとき, $H(p, r) = E$ となります。数学的に言えば, $\dfrac{d H(p, r)}{dt} = 0$ のときです。

ハミルトニアン演算子 $\hat{p}$ の導入

上記の $H(p,r)$ を運動量演算子 $\hat{p}$ を用いると, ハミルトニアン演算子 $\hat{H}$ となり,

$$\hat{H} = \dfrac{\hbar^2 }{2m} \left(\dfrac{\partial^2{}}{\partial^2{x}}+\dfrac{\partial^2{}}{\partial^2{y}}+\dfrac{\partial^2{}}{\partial^2{z}}\right) + V(x, y, z)$$

と定義されます。これをシュレディンガー方程式に取り入れると,

$$i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi = \hat{H} \psi = E \psi$$

となります。固有値問題を考えると, $\psi$ は固有関数, $E$ は固有値となります。

波数 $k$ と各振動数 $\omega$ を用いた波動関数の書き換え

単位長さあたりの波の数を波数 $k$ , 角振動数 $\omega$ を以下のように定義します。

$$k = \dfrac{p}{\hbar} = \dfrac{2 \pi p}{h} = \dfrac{2 \pi}{\lambda} \\$$

$$\omega = \dfrac{E}{\hbar} = \dfrac{2\pi E}{h} = 2\pi \nu$$

すると, 波動関数 $\psi(x,t)$ は,

$$\psi(x, t) = A e^{i(px-Et)/\hbar} = A e^{i(kx-\omega t)}$$

と書き直すことができます。

シュレディンガー方程式は, 量子の世界を司る基本方程式で, 量子が持つ二重性(波動性＋粒子性)を表現しています。

上記のシュレディンガー方程式に関する

1. 虚数単位 $i$ がなぜあるのか

→ 虚数単位 $i$ はオイラーの公式に表れ, シュレディンガー方程式を導く数学的道具です。

2. $\hbar$ とは何か(読み方：エイチバー)

→　$\hbar$ はディラック定数で表しています。

$$\hbar = \dfrac{h}{2 \pi}$$

3. 関数 $\psi(r,t)$ (読み方：プサイ)とは何の関数か

→　$\psi(r,t)$ は波動関数を表しており, 量子の状態を表現しています。本質的には, $|\psi(x,t)|^2$ が量子の存在確率を示しています。

4. $\partial$ を使った偏微分とは何を示すのか

→ 偏微分とは微分において一方の値を固定したまま,　微分を行う作業です。シュレディンガー方程式は左辺は時間の微分, 右辺は位置の微分のため, 偏微分を用いる必要があります。