群の準同型と準同型定理

群の準同型とは,大雑把には群の構造を保つ写像です。

準同型写像とは

GG から群 HH への写像 ϕ\phi について,任意の g1,g2Gg_1 , g_2 \in G に対して ϕ(g1g2)=ϕ(g1)ϕ(g2)\phi (g_1 g_2) = \phi (g_1) \phi (g_2) であるとき,ϕ\phi準同型写像と言う。

つまり「演算してから変換」しても「変換してから演算」しても結果が同じになる変換です。

準同型の性質

定理1

GG から群 HH への写像 ϕ\phi が準同型写像なら,

  1. ϕ(1G)=1H\phi (1_G) = 1_H
  2. ϕ(g1)=ϕ(g)1\phi (g^{-1}) = \phi (g)^{-1}

ただし,1G1_GGG の単位元で,1H1_HHH の単位元です。

証明
  1. ϕ(1G)=ϕ(1G1G)=ϕ(1G)ϕ(1G)\phi (1_G) = \phi (1_G 1_G) = \phi (1_G) \phi (1_G) であるため ϕ(1G)=1H\phi (1_G) = 1_H

  2. ϕ(g1)ϕ(g)=ϕ(g1g)=ϕ(1G)\phi (g^{-1}) \phi (g) = \phi (g^{-1} g) = \phi (1_G),さらに1より ϕ(g1)ϕ(g)=1H\phi(g^{-1}) \phi (g) = 1_H であるため,ϕ(g1)=ϕ(g)1\phi (g^{-1}) = \phi (g)^{-1}

※準同型写像 ϕ\phi の定義に,上記の1,2を加える場合もありますが,結局 ϕ(g1g2)=ϕ(g1)ϕ(g2)\phi (g_1 g_2) = \phi (g_1) \phi (g_2) から導けるので加えなくても加えても同じです。

準同型の例

準同型写像の例を4つ紹介します。

自明な準同型

  • GG から群 HH への写像として,常に 1H1_H を返すものは準同型写像になります。これを自明な準同型と言うことがあります。

  • GG に対して,恒等写像(任意の gGg \in G に対して ϕ(g)=g\phi (g) = g となる写像)は GG から GG への準同型写像です。これを自明な自己準同型と言うことがあります(自分自身への準同型写像のことを自己準同型と言います)。

置換の符号

Sn\mathfrak{S}_nnn 次対称群とします。置換の 符号 sgn:Sn{1,1}\mathrm{sgn} : \mathfrak{S}_n \to \{ 1, -1 \} は準同型写像です。

なぜなら,任意の σ1,σ2Sn\sigma_1,\sigma_2\in\mathfrak{S}_n に対して sgn(σ1)sgn(σ2)=sgn(σ1σ2)\mathrm{sgn}(\sigma_1)\mathrm{sgn}(\sigma_2)=\mathrm{sgn}(\sigma_1\sigma_2) だからです。

行列式

行列式 det:GLn(C)C×\det : \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times} は準同型写像です。ただし,

  • GLn(C)\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) は正則な n×nn \times n の複素行列全体の集合です。これは行列の通常の掛け算について群を成します。
  • C×\mathbb{C}^{\times}00 でない複素数全体の集合です。これは通常の複素数の掛け算について群を成します。

なぜなら,行列式 の性質より,任意の A,BGLnA,B\in\mathrm{GL}_n に対して det(AB)=det(A)det(B)\det (AB) = \det (A) \det (B) だからです。

商写像

GG を群,NN をその正規部分群とします。(→正規部分群と剰余群(商群)

GG から剰余群 G/NG / N への自然な準同型写像が存在します。

π:GG/N\pi : G \to G/Nπ(g)=gN\pi (g) = gN と定めるとこれは準同型になります。

定理2

GG から G/NG/N への写像を π(g)=gN\pi (g) = gN で定めると,π\pi は全射な準同型。

証明
  • g1,g2Gg_1,g_2\in G に対して,π(g1)π(g2)=g1Ng2N\pi(g_1)\pi(g_2)=g_1Ng_2N であるが,NN の正規性より右辺は g1g2Ng_1g_2N と等しい。これは π(g1g2)\pi(g_1g_2) である。つまり,π\pi は準同型。

  • G/NG/N の任意の元は,ある gGg\in G を用いて gNgN と表される。このとき π(g)=gN\pi (g) = gN となる。よって π\pi は全射。

同型

2つの群の構造が同じとき,同型と言います。もう少し正確に言うと,以下です。

定義(同型写像・同型)
  • 全単射である準同型写像を同型写像と言う。

  • GGHH に対して,GG から HH への同型写像があるとき,GGHH は同型であると言う。

つまり,同型とは 「1対1対応(全単射)で,変換前後どちらの群で演算しても結果が同じもの(準同型)がある」ということです。

同型の例1
  • Z/5Z\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}0,1,2,3,4 (mod 5)0,1,2,3,4 \ (\mathrm{mod} \ 5) からなる集合です。Z/5Z\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z} には n+m (mod 5)n+m \ (\mathrm{mod} \ 5) となる演算 ++ が定義され,群です。

  • 以下の SS は通常の積で閉じており,群です。S={e2πi5,e4πi5,e6πi5,e8πi5,1} S = \{ e^{\frac{2\pi i}{5}} , e^{\frac{4\pi i}{5}} , e^{\frac{6\pi i}{5}} , e^{\frac{8\pi i}{5}} , 1 \}

  • Z/5Z\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z} から SS への写像を, 0 (mod 5)11 (mod 5)e2πi52 (mod 5)e4πi53 (mod 5)e6πi54 (mod 5)e8πi5\begin{aligned} 0 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow 1\\ 1 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{2\pi i}{5}}\\ 2 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{4\pi i}{5}}\\ 3 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{6\pi i}{5}}\\ 4 \ (\mathrm{mod} \ 5) &\longleftrightarrow e^{\frac{8\pi i}{5}}\\ \end{aligned} と対応させると,同型写像になります。演算の構造が同じである1対1対応ですね。

このように,一見して別の集合に見えるものの,同じ群の構造が入るとき,2つの群は同型であると言うのです。

同型と逆写像

さて,同型の定義は「全単射かつ準同型」でしたが,実は以下の2のように「準同型な逆写像がある」としてもよいです。

定理3

GG から HH への準同型写像 ϕ\phi に対して,以下は同値。

  1. ϕ\phi は全単射。つまり ϕ\phi は同型写像。

  2. HH から ϕ\phi への準同型写像 ψ\psi があって,ϕψ\phi \circ \psiψϕ\psi \circ \phi が恒等写像になる。

同型の例2
  • G=A3G = \mathfrak{A}_3 とおく(符号が 11 である3次の置換全体)。具体的には,G={(1),(123),(132)}G = \{ (1) , (123) , (132) \}

  • H=Z/3ZH = \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} とおく。つまり,H={0+Z,1+Z,2+Z}H = \{ 0 + \mathbb{Z} , 1 + \mathbb{Z} , 2 + \mathbb{Z} \}

これらが同型であることを示す。

ϕ:GH\phi : G \to Hϕ((1))=0+Zϕ((123))=1+Zϕ((132))=2+Z\begin{aligned} &\phi ((1)) = 0 + \mathbb{Z}\\ &\phi ((123)) = 1+\mathbb{Z}\\ &\phi ((132)) = 2+\mathbb{Z} \end{aligned} とすると,これは準同型である。

ψ:HG\psi : H \to Gψ(0+Z)=(1)ψ(1+Z)=(123)ψ(2+Z)=(132)\begin{aligned} \psi (0+\mathbb{Z}) &= (1)\\ \psi (1+\mathbb{Z}) &= (123)\\ \psi (2+\mathbb{Z}) &= (132) \end{aligned} とすると,これもまた準同型である。

さらに ψϕ\psi \circ \phiϕψ\phi \circ \psi は恒等写像である。

よって G=A3G = \mathfrak{A}_3Z/3Z\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} は同型である。

単射な準同型

準同型 ϕ\phi が同型であるかどうかを調べたいとき,ϕ\phi が全単射かわかればよいです。ϕ\phi が単射かどうかを調べるのに使える定理を紹介します。

定理4

次の2条件は同値である。

  1. 準同型 ϕ:GH\phi : G \to H が単射である。
  2. ϕ(x)=1H\phi (x) = 1_H であれば x=1Gx = 1_G である。
証明
  • 121 \Longrightarrow 2
    準同型の定義より ϕ(1G)=1H\phi (1_G) = 1_H である。
    ここで xGx \in Gϕ(x)=1H\phi (x) = 1_H を満たすとする。このとき ϕ(x)=ϕ(1G)\phi (x) = \phi (1_G) である。
    ここで ϕ\phi の単射性より x=1Gx =1_G を得る。

  • 121 \Longleftarrow 2
    g,gGg,g' \in Gϕ(g)=ϕ(g)\phi (g) = \phi (g') を満たしていると仮定する。
    両辺に ϕ(g)1\phi (g')^{-1} を掛けて ϕ(g)ϕ(g1)=1H\phi (g) \phi ({g'}^{-1}) = 1_H を得る。ϕ\phi は準同型であるため ϕ(gg1)=1H\phi (g {g'}^{-1}) = 1_H となる。
    ここで 2 より gg1=1Gg{g'}^{-1} = 1_G つまり g=gg = g' を得る。

核と像

準同型から定まる重要な群を紹介します。

定義

ϕ:GH\phi : G \to H を群の準同型とする。

集合 {gGϕ(g)=1H} \{ g \in G \mid \phi (g) = 1_H \} ϕ\phi の核 といい,kerϕ\ker \phi と書く。

集合 {ϕ(g)HgG} \{ \phi (g) \in H \mid g \in G \} ϕ\phi の像 といい,Im ϕ\mathrm{Im} \ \phi と書く。

Im ϕ\mathrm{Im} \ \phiHH の部分群になり,kerϕ\ker \phiGG の正規部分群になります。

前者は以下の定理5の1で G=GG'=G とすればわかります。後者は定理5の2で H={1H}H'=\{1_H\} とすればわかります。

準同型と正規部分群

定理5

ϕ:GH\phi : G \to H を群の準同型とする。

  1. GG'GG の部分群とすると ϕ(G)={ϕ(g)gG} \phi (G') = \{ \phi (g) \mid g \in G' \} HH の部分群である。

  2. HH'HH の正規部分群とすると ϕ1(H)={gGϕ(g)H} \phi^{-1} (H') = \{ g \in G \mid \phi (g) \in H' \} GG の正規部分群である。

証明
  1. 準同型の定義より 1H=ϕ(1G)ϕ(G)1_H = \phi (1_G) \in \phi (G') である。
    また,h,hϕ(G)h,h' \in \phi (G') を任意に取るとき,g,gGg,g' \in G' があって, ϕ(g)=h\phi (g) = hϕ(g)=h\phi (g') = h' である。よって hh=ϕ(g)ϕ(g)=ϕ(gg)ϕ(G) hh' = \phi (g) \phi (g') = \phi (gg') \in \phi (G') である。最後に h1=ϕ(g)1=ϕ(g1)ϕ(G) h^{-1} = \phi (g)^{-1} = \phi (g^{-1}) \in \phi (G') である。よって ϕ(G)\phi (G')HH の部分群である。

  2. 部分群であることの証明は1と似たようにできるため省く。
    gGg \in G を任意に取る。gϕ1(H)g' \in \phi^{-1} (H') とする。 ϕ(g1gg)=ϕ(g)1ϕ(g)ϕ(g) \phi (g^{-1} g' g) = \phi (g)^{-1} \phi (g') \phi (g) である。ϕ(g)H\phi (g') \in H'HH'HH の正規部分群であったため ϕ(g)1ϕ(g)ϕ(g)H\phi (g)^{-1} \phi (g') \phi (g) \in H' である。
    よって g1ggϕ1Hg^{-1} g' g \in \phi^{-1} H' を得る。

準同型の単射・全射に関して

核・像という言葉を用いて準同型が単射・全射であることを言い換えることができます。

定理6

ϕ:GH\phi : G \to H を準同型とする。

  1. ϕ\phi が単射である     \iff kerϕ={1G}\ker \phi = \{ 1_G \}
  2. ϕ\phi が全射である     \iff Im ϕ=H\mathrm{Im} \ \phi = H

準同型定理

準同型に関する大定理として準同型定理があります。

準同型定理

ϕ:GH\phi : G \to H を群の準同型写像とすると,

Im ϕG/kerϕ \mathrm{Im} \ \phi \simeq G / \ker \phi

ただし,\simeq は2つの群が同型であることを表します。

準同型定理の例

置換の符号

sgn:Sn{±1}\mathrm{sgn} : \mathfrak{S}_n \to \{ \pm 1 \} は準同型でした。

kersgn\ker \mathrm{sgn} は符号が 11 である元であるため,kersgn=An\ker \mathrm{sgn} = \mathfrak{A}_n となる。

また準同型定理より Sn/A2Z/2Z\mathfrak{S}_n / \mathfrak{A}_2 \simeq \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} である。

{1,1}\{ 1 , -1 \} には 1×1=1-1 \times -1 = 11×1=11 \times -1 = -1 などと積を入れると Z/2Z\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} となる。

行列式

det:GLn(C)C×\det : \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{\times} は準同型である。

AkerdetA \in \ker \detdetA=1\det A = 1 となるため kerdet=SLn(C)\ker \det = \mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) である。

準同型定理より GLn(C)/SLn(C)C×\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) / \mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{\times} となる。

準同型定理の証明

証明

以下 N=kerϕN = \ker \phi とおく。

ψ:G/NIm ϕ\psi : G / N \to \mathrm{Im} \ \phi

ψ(gN)=ϕ(g) \psi (gN) = \phi (g) と定義する。

ψ\psi が写像になっていること(→ 補足へ)

  • gN,gNG/Ng N , g' N \in G/NgN=gNgN = g'N となる元とする。これらの ψ\psi での行き先が一致することを確認する。 ψ(gN)ψ(gN)1=ψ(gg1N) \psi (gN) \psi (g'N)^{-1} = \psi (gg'^{-1}N) である。gN=gNg N = g' N より gg1Ngg'^{-1} \in N であるため,右辺は ψ(N)=1Im ϕ\psi (N) = 1_{\mathrm{Im} \ \phi} となる。よって ψ(gN)=ψ(gN)\psi (gN) = \psi (g'N) である。

準同型であること

  • gN,gNG/NgN , g'N \in G/N を取る。 ψ(gNgN)=ψ(ggN)=ϕ(gg)=ϕ(g)ϕ(g)=ψ(gN)ψ(gN)\begin{aligned} \psi (gN g'N) &= \psi (gg'N)\\ &= \phi (gg')\\ &= \phi (g) \phi (g')\\ &= \psi (gN) \psi (g'N) \end{aligned} よって ψ\psi は準同型である。

ψ\psi が全単射であること

  1. 全射性は定義より明らか。
  2. 単射性を示す。
    gNG/NgN \in G/NgNkerψgN \in \ker \psi を満たすものとする。
    このとき 1Im ϕ=ψ(gN)=ϕ(g)1_{\mathrm{Im}\ \phi} = \psi (gN) = \phi (g) より gkerϕ=Ng \in \ker \phi = N である。
    よって gN=1G/NgN = 1_{G/N} である。よって単射である。

写像であるかチェックする理由

剰余群の元 gNgN は,別の gNg' N を用いて gNg'N と書くこともできます。

Z/7Z\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} の元 1+7Z1 + 7 \mathbb{Z}8+7Z8 + 7\mathbb{Z} と書いても意味は同じですね。

写像とは,1つの元に対して1つの元を対応させる規則です。今回の ψ\psigNgNgg に依存して定義されているため,ψ(gN)\psi (g'N) が本当に ψ(gN)\psi (gN) と一致するのか確かめる必要があります。

「写像っぽいが写像にならない例」もあります。

例えば ϕ\phiϕ(n+7Z)=n\phi (n + 7\mathbb{Z}) = n とすると, ϕ(1+7Z)=18=ϕ(8+7Z) \phi (1+7\mathbb{Z}) = 1 \neq 8 = \phi (8+7\mathbb{Z}) となってしまい,これは写像になりません。

同型定理

準同型定理の系として部分群に関する同型定理があります。

定理

GG を群とする。HHGG の部分群,NNGG の正規部分群とするとき次が成立する。

(HN)/NH/(HN) (HN)/N \simeq H/(H \cap N)

証明

ϕ:H(HN)/N\phi : H \to (HN)/NhhNh \mapsto hN と定義する。これは準同型である。(チェックしてみてください)

このとき kerϕ=HN\ker \phi = H \cap N であるため,(HN)/NH/(HN)(HN)/N \simeq H / (H \cap N) である。

定理

GG を群とする。H,KH,KGG の正規部分群で,KKHH の正規部分群とする。

このとき次が成立する。

(G/K)/(H/K)G/H (G/K)/(H/K) \simeq G/H

証明

ϕ:G/KG/H\phi : G/K \to G/Hϕ(gK)=gH\phi (gK) = gH と定める。これは準同型になる。(チェックしてみてください)

このとき kerϕ=H/K\ker \phi = H/K であるため,準同型定理より (G/K)/(H/K)G/H(G/K)/(H/K) \simeq G/H となる。

代数学で最も重要な定理の1つは準同型定理でしょう。