有界とは何か~上界・上限と下界・下限

有界の定義
  • 実数の集合 AA に対して AA が有界であるとは,
    「ある実数 m,Mm,M が存在して,任意の xAx\in A に対して mxMm\leqq x\leqq M」となることを意味する。 有界の定義

  • AA 上の関数 ff が有界であるとは,f(A)={yxA,f(x)=y}f(A) = \{ y \mid \exists x \in A , f(x) = y \} が有界であることを意味する。

この記事では,漠然と使いがちな有界性にまつわる用語を厳密に説明していきます。

sup(上限)とinf(下限)の意味,max・minとの違い も参考にしてください。

実数の部分集合の有界性

上界・上限・最大値

実数の部分集合 ARA\subseteq\mathbb{R} に対して 実数 MM

  • 任意の xAx \in A に対して xMx \leqq M

となるように取れるとき,AA は上に有界である といいます。

上に有界な集合 AA に対して,特殊な実数に名前をつけましょう。

定義
  1. 任意の xAx\in A に対して xyx \leqq y となる実数 yy上界 という。
  2. 上界の中で最小のものを上限といい,supA\sup A と書く。
  3. AA の元の中で最大のものが存在するとき,最大値といい,maxA\max A と書く。
  4. AA 上の関数 ff の上界・上限・最大値をそれぞれ f(A)f(A) の上界・上限・最大値と定める。

上に有界な集合に対して,上限は必ず存在しますが,最大値は存在しないことがあります。

開集合 I1=(1,2)={xR1<x<2}I_1 = (1,2) = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 2 \} は上に有界です。

  1. 上界は 22 以上の任意の実数です。
  2. 上界のうち最小のものは 22 なので,上限は 22 です。
  3. I1I_1 の元はいくらでも 22 に近く取れます。しかし,22 自体は I1I_1 の元ではないです。よって最大値は存在しません。

閉集合 I2=[1,2]={xR1x2}I_2 = [1,2] = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 \leqq x \leqq 2 \} は上に有界です。

  1. 上界は 22 以上の任意の実数です。
  2. 上界のうち最小のものは 22 なので,上限は 22 です。
  3. I2I_2 の元は 22 を越えることはないです。一方 22I2I_2 の元であるため,最大値は 22 です。

例から予想できるように,最大値が存在するとき maxA=supA\max A = \sup A となります。

下界・下限・最小値

実数の集合 AA に対して 実数 mm

  • 任意の xAx \in A に対して mxm \leqq x

となるように取れるとき,AA は下に有界である といいます。

上に有界なとき同様に,下に有界な集合に対してもいくつかの実数に名前をつけます。

定義
  1. 任意の xAx\in A に対して yxy \leqq x となる実数 yy下界 という。
  2. 下界の中で最大のものを下限といい,infA\inf A と書く。
  3. AA の元の中で最小のものが存在するとき,最小値といい,minA\min A と書く。
  4. AA 上の関数 ff の下界・下限・最小値をそれぞれ f(A)f(A) の下界・下限・最小値と定める。

下に有界な集合に対して,下限は必ず存在しますが,最小値は存在しないことがあります。同じように例を考えればOKです。

開集合 I1=(1,2)={xR1<x<2}I_1 = (1,2) = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 2 \} は下に有界です。

  1. 下界は 11 以下の任意の実数です。
  2. 下界のうち最大のものは 11 なので,下限は 11 です。
  3. I1I_1 の元はいくらでも 11 に近く取れます。しかし,11 自体は I1I_1 の元ではないです。よって最小値は存在しません。

閉集合 I2=[1,2]={xR1x2}I_2 = [1,2] = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 \leqq x \leqq 2 \} は下に有界です。

  1. 下界は 11 以下の任意の実数です。
  2. 下界のうち最大のものは 11 なので,下限は 11 です。
  3. I2I_2 の元は 11 を下回ることはないです。一方 11I2I_2 の元であるため,最小値は 11 です。

最大のときと同様に,最小値が存在すると minA=infA\min A = \inf A となります。

数式による特徴付け

上限・下限の性質を数式による特徴付けます。ε\varepsilon-δ\delta 論法などと組み合わせて,応用する際に有用です。

上限

上限の特徴づけ

MMAA の上限であることは,次の2つを満たすことと同値:

  1. 任意の xAx \in A に対して MxM \geqq x
  2. ε>0\varepsilon > 0 を任意に取ったとき,ある xAx \in A があって Mx<εM - x < \varepsilon となる。

2つ目の条件は,上限にいくらでも近い元 xAx\in A の存在を主張しています。

例えば I1=(1,2)I_1 = (1,2) の上限を考えるとき,2.12.1ε=0.1\varepsilon = 0.1 とすると,任意の x(1,2)x \in (1,2) に対して 2.1x>2.12=0.1=ε2.1 - x > 2.1 - 2 = 0.1 = \varepsilon となってしまい,上限とならないことが分かります。

下限

下限の特徴づけ

mmAA の下限であることは,次の2つを満たすことと同値:

  1. 任意の xAx \in A に対して mxm \leqq x
  2. ε>0\varepsilon > 0 を任意に取ったとき,ある xAx \in A があって xm<εx - m < \varepsilon となる。

平面や空間の有界性

平面上の集合が有界であるとは,どのように定義すると良いでしょうか?

pic01

上の図の左は「有界だなぁ」と感じるでしょう。その直観をどのように定義に落とし込むとよいでしょうか。2種類の同値な定義を紹介します。

定義1

平面上の点に最大値・最小値のようなものを考えるのは難しそうです。しかし,困難は分割せよというように,xx 軸・yy 軸(・zz 軸)に分けて大小を見ることで,有界性を定めることができます。

平面の有界1

xyxy 平面上の集合 AA に対して, 平面上の点 (m1,m2),(M1,M2)(m_1 , m_2) , (M_1 , M_2)

  • 任意の (x,y)A(x,y) \in A に対して m1xM1m_1 \leqq x \leqq M_1m2yM2m_2 \leqq y \leqq M_2

となるように取れるとき,AA は有界である という。(xyzxyz 空間のときも同様に考える。)

先ほどの図での例を見てみましょう。

pic02

定義2

視点を変えることで異なる定義をすることもできます。

実数における有界な集合には,上界と下界が存在しますが,これらの差の絶対値を取ると「どれくらいの距離があるのか」がわかります。有界な集合を「距離が有限な集合」だと思うと次のような定義は自然でしょう。

平面の有界2

平面(より広く空間)の集合 AA が,半径が有限な円(空間の場合は球)で覆えるとき有界であるという。

先ほどの図での例を見てみましょう。

pic03

2つの定義の同値性

これら2つの定義は同値になります。

証明(平面版)

121 \Rightarrow 2

定義中の (m1,m2),(M1,M2)(m_1 , m_2) , (M_1 , M_2) を直径とする円を取れば AA を覆うことができる。

212 \Rightarrow 1

AA を中心 (x0,y0)(x_0,y_0) 半径 rr の円で覆えたとする。

このとき円盤内の任意の点 (x,y)(x,y) に対して x0rxx0+rx_0 - r \leqq x \leqq x_0 +ry0ryy0+ry_0 - r \leqq y \leqq y_0 +r である。

AA は円に覆われることから,AA の元 (x,y)(x,y) を任意に取ったとしても同様の不等式が成立する。

平面上の有界な集合の例

パラメーターが付いた平面上の曲線 c(t)  (atb)c(t) \; (a \leqq t \leqq b)閉曲線であるとは,c(a)=c(b)c(a) = c(b) であることを意味します。

閉曲線で囲まれた集合は有界です。

実際,c(t)=(c1(t),c2(t))c(t) = (c_1 (t) , c_2 (t)) とおいたとき,(m1,m2)(m_1 , m_2)(M1,M2)(M_1 , M_2) として,(minc1(t),minc2(t))(\min c_1 (t) , \min c_2 (t))(maxc1(t),maxc2(t))(\max c_1 (t) , \max c_2 (t)) を取れば,これらは条件1 を満たします。

展望

ここまでは,実数の集合について有界性・上界・上限・最大などを考えましたが,より一般の集合についても考えることができます。そのためには,集合の要素の間の「比較方法」を考える必要があります。

実数と不等号のように,集合と比較方法のペアを順序集合といいます。

平面の有界性の定義1は順序集合の直積に関係し,定義2は不等号として包含関係を用いたものと解釈できます。

これらは束論などのトピックに繋がっていきます。興味がある人は是非調べてみてください。

記事中で紹介したもの以外で有界になる条件を考えてみてください。例えば,平面上の集合の周長ではうまくいきません。有界でも周の長さは無限大の例については「フラクタル」を調べてみましょう。